最大公约数的算法实现

Table of Contents

• 1 GCD 算法的基本原理
• 2 GCD 算法的实现
  • 2.1 递归实现
  • 2.2 迭代实现

1 GCD 算法的基本原理

GCD=Greatest Common Divisor

欧几里德定理

若 a=b×r+q 则gcd(a, b) = gcd(b, q).

欧几里德定理的证明

a = b × r + q
设c = gcd(a, b), a = m×c, b= n×c
q = a - b× r = (m - n × r)×c
下面证明 m-n×r与n互质：
假设不互质，则存在k使得 m-n×r = x×k, n = y×k.
则:
a = m×c = (n×r + x×k)×c = (y×r + x×k)×c×k
b = n×c = y×c×k
与 c=gcd(a, b) 矛盾。

辗转相除法的算法实现

a = b × r_1 + q_1
if q_1 = 0
      then return b
else
b = q_1 × r_2 + q_2
if q_2 = 0
      then return q_1
else

……
直到找到GCD为止。

2 GCD 算法的实现

2.1 递归实现

int gcd(int a, int b)
{
        if(!b) return a;
        else  return gcd(b, a%b );
}

2.2 迭代实现

int gcd(int a, int b)
{
        int c = a%b;
        while(c){
                a = b;
                b = c;
                c = a % b;
        }
        return b;
}

Author: visaya fan <visayafan[AT]gmail.com>

Date: 2011-08-11 18:01:00

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