0x05 动态规划
动态规划
Dynamic Programming
背包问题
graph LR
A(背包问题)-->B(01背包)-->F(每件物品只能选0或1次)
A-->C(完全背包)-->G(每件物品可以无限次选取)
A-->D(多重背包)-->H(每个物品最多选有限次)
A-->E(分组背包)-->I(每个组中只能选一件物品)
思路
graph LR
A(DP)-->B(状态表示)-->D(集合)
B-->E(属性：最大最小、数量)
D-->F(所有选法)
D-->G(条件)-->H(怎样选)
G-->I(总体积)
A-->C(状态计算)-->J(集合划分)
01背包
每件物品只能选0或1次
给定容量为 \(W\) 的背包和 \(n\) 件物品，每件物品都有重量 \(w_i\) 和价值 \(v_i\) ，每件物品只能选取 0 次或 1 次。求背包内物品的最大化价值
状态转移方程：
\(dp[i][j]=\max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i)\)
\(dp[i][j]\)：从前 \(i\) 个物品中选择并放入容量为 \(j\) 的背包时，可以获得的最大价值
\(dp[i-1][j]\)：不选第 \(i\) 个物品
\(dp[i-1][j-w_i]+v_i\)：选择第 \(i\) 个物品
滚动数组优化：
\(dp[j]=\max (dp[j-1],dp[j-v[i]]+w[i])\)
//二维
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
//一维
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=v[i];j--)//从后向前遍历避免数据覆盖
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
完全背包
每件物品可以无限次选取
状态转移方程：
\(dp[i][j]=\max (dp[i-1][j-k \cdot v[i]]+k \cdot w[i])\)
优化：
\[\begin{array}{rl}
dp[i,j] &=&\max (dp[i-1,j],dp[i-1,j-v]+w,dp[i-1,j-2v]+2w,\dots,dp[i-1,j-kv]+kw) \\
dp[i,j-v] &=&\max (dp[i-1,j-v],dp[i-1,j-2v]+w,\dots,dp[i-1,j-kv]+(k-1)w) \\
\Longrightarrow &&dp[i,j]=\max (f[i-1,j],f[i][j-v]+w) \\
\end{array}\]
//二维
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
}
//一维
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=v[i];j<=m;j++)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);//从前向后遍历，此时dp[j-v[i]]为第 i 层
多重背包
每个物品最多选有限次
状态转移方程：
\(dp[i][j]=\max (dp[i-1][j-k\cdot v[i]]+k\cdot w[i])\quad(k=0,1,2,\dots,s[i])\)
优化：
将\(S\)用二进制表示
\(O(n^3)\rightarrow O(n^2\log S)\)
//二维
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
//一维
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=0;j--)
for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]*k]+w[i]*k);
//优化
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int a,b,s;
cin>>a>>b>>s;
int k=1;
while(k<=s)
{
cnt++;
v[cnt]=a*k;
w[cnt]=b*k;
s-=k;
k*=2;
}
if(s>0)
{
cnt++;
v[cnt]=a*s;
w[cnt]=b*s;
}
}
n=cnt;
for(int i=1;i<=n;i++)//转化为 01 背包问题
for(int j=m;j>=v[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
分组背包
每个组中最多选一件物品
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=0;j--)
for(int k=0;k<s[i];k++)
if(v[i][k]<=j)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i][k]]+w[i][k]);
线性DP
最长上升子序列（LCA）
求最长的元素单调递增的子序列的长度
浙公网安备 33010602011771号