0x04 数学知识

数学知识

数论

质数

试除法判定质数

\(O(\sqrt n)\)

bool is_prime(int x)
{
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )//sqrt(x)较慢，i*i存在溢出风险
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

试除法分解质因数

\(O(\log n) \sim O(\sqrt n)\)

\(n\) 中最多只包含一个大于\(\sqrt n\) 的质因子

void divide(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
    cout << endl;
}

埃氏筛求质数

\(O(n \log (\log n))\)

int primes[N], cnt;//primes[]存储所有素数
bool st[N];//st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i]) continue;
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

线性筛求质数

\(O(n)\)

每个数只被它最小的质因数筛去

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

约数

试除法求约数

vector<int> get_divisors(int x)
{
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if (i != x / i) res.push_back(x / i);
        }
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

约数个数与约数之和

如果 \(N = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \dots p_k^{c_k}\)
约数个数：\((c_1 + 1) \times (c_2 + 1) ... (c_k + 1)\)
约数之和：\((p_1^0 + p_1^1 + ... + p_1^{c_1}) \times ... \times (p_k^0 + p_k^1 + ... + p_k^{c_k})\)

欧几里得算法

\((a,b)=(b,a\bmod b)\)

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

欧拉函数

欧拉函数 \(\varphi (n) : 1\sim n\) 中和 \(n\) 互质的个数

欧拉定理：若 \(gcd(a,m)=1\) ,则 \(a^{\varphi (m)}\equiv 1\pmod{m}\)

费马小定理：若 \(p\) 为素数，\(gcd(a,p)=1\)，则 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\)

求欧拉函数

\(O(\sqrt{n})\)

若 \(n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}\)

1. 从 \(1\sim n\) 中去掉 \(p_1,p_2,\ldots p_k\) 的所有倍数
2. 加上所有 \(p_i \cdot p_j\) 的倍数
3. 减去所有 \(p_i \cdot p_j \cdot p_k\) 的倍数
4. \(\cdots\cdots\)（容斥原理）

\[\begin{aligned} N & -\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2} \cdots -\frac{N}{p_k} \\ & +\frac{N}{p_1 \cdot p_2}+\frac{N}{p_1 \cdot p_3}+ \cdots \\ & -\frac{N}{p_1 \cdot p_2 \cdot p_3}-\frac{N}{p_1 \cdot p_2 \cdot p_4}-\cdots \\ & +\frac{N}{p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4} \cdots\cdots \\ = & N(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2}) \cdots (1-\frac{1}{p_k}) \\ \end{aligned}\]

int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

筛法求欧拉函数

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
int euler[N];           // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

快速幂

求 \(m^k \pmod{p}\)，时间复杂度 \(O(\log k)\)

int qmi(int m, int k, int p)
{
    int res = 1 % p, t = m;
    while (k)
    {
        if (k&1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

乘法逆元：若 \(b,m\) 互质，并且对于任意整数 \(a\) 如果满足 \(b|a\) ，则存在一个整数 \(x\) ，使得 \(\frac{a}{b}\equiv a \times x\pmod{m}\) ，则称 \(x\) 为 \(b\) 的模 \(m\) 乘法逆元，记为 \(b^{-1}\pmod{m}\)

\(b\) 存在乘法逆元的充要条件是 \(b\) 与模数 \(m\) 互质，当模数 \(m\) 为质数时，\(b^{m-2}\) 即为 \(b\) 的乘法逆元

扩展欧几里得算法

裴蜀定理：对于任意两个整数 \(a\) 和 \(b\)，存在整数 \(x\) 和 \(y\)，使得\(ax+by=gcd⁡(a,b)\)

// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a/b) * x;
    return d;
}

高斯消元

\(O(n^3)\)

步骤：

1. 构造增广矩阵
2. 前向消元，使矩阵变成上三角矩阵
3. 回代求解

int gauss()// a[N][N]是增广矩阵
{
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i ++ )//找到绝对值最大的行
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;
        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
        for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);//将绝对值最大的行换到最顶端
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];//将当前行的首位变成1
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )//用当前行将下面所有的列消成0
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
        r ++ ;
    }
    
    if (r < n)
    {
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2; // 无解
        return 1; // 有无穷多组解
    }
    //回代求解
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
    return 0; // 有唯一解
}

组合数

递推法求组合数

\(C^b_a=C_{a-1}^b+C_{a-1}^{b-1}\)

// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )
    for (int j = 0; j <= i; j ++ )
        if (!j) c[i][j] = 1;
        else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

预处理逆元求组合数

//首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]
//如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元
int qmi(int a, int k, int p)//快速幂模板
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
    fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
    infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}

\(Lucas\) 定理

若 \(p\) 是质数，则对于任意整数 \(1\leqslant m \leqslant n\)，有：

\[C^n_m=C^{n\%p}_{m\%p}\times C^{n/p}_{m/p}\mod p \]

int qmi(int a, int k, int p)  // 快速幂模板
{
    int res = 1 % p;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
int C(int a, int b, int p)  // 通过定理求组合数C(a, b)
{
    if (a < b) return 0;
    LL x = 1, y = 1;  // x是分子，y是分母
    for (int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++ )
    {
        x = (LL)x * i % p;
        y = (LL) y * j % p;
    }
    return x * (LL)qmi(y, p - 2, p) % p;
}
int lucas(LL a, LL b, int p)
{
    if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
    return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

分解质因数法求组合数

需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，适合用分解质因数的方式：

1. 筛法求出范围内的所有质数
2. 通过 \(\mathrm{C}^a_b=\cfrac{a!}{b!(a-b)!}\) 求出每个质因子的次数，\(n!\) 中 \(p\) 的次数是\(\cfrac{n}{p}+\cfrac{n}{p^2}+\cfrac{n}{p^3}+\cdots\)
3. 用高精乘相乘所有质因子

int primes[N], cnt;     // 存储所有质数
int sum[N];     // 存储每个质数的次数
bool st[N];     // 存储每个数是否已被筛掉
void get_primes(int n)      // 线性筛法求素数
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
int get(int n, int p)       // 求 n！中的次数
{
    int res = 0;
    while (n)
    {
        res += n / p;
        n /= p;
    }
    return res;
}
vector<int> mul(vector<int> a, int b)       // 高精度乘低精度模板
{
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
    {
        t += a[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (t)
    {
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return c;
}
get_primes(a);  // 预处理范围内的所有质数
for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 求每个质因数的次数
{
    int p = primes[i];
    sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}
vector<int> res;
res.push_back(1);
for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 用高精度乘法将所有质因子相乘
    for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
        res = mul(res, primes[i]);