树链剖分

 

 

•参考资料

  [1]:博客

  [2]:论文(提取码:r87c)

•抛出问题

  给定一棵有 $n$ 个节点、带边权的树;

  现在要对树进行 $m$ 个操作,操作有2类:

    • 将节点 $a$ 到节点 $b$ 路径上所有边权的值都改为 $c$

    • 询问节点 $a$ 到节点 $b$ 路径上的最大边权值

•问题的解

  树链剖分是指一种对树进行划分的算法,它先通过轻重边剖分(Heavy-Light Decomposition)将树分为多条链;

  保证每个点属于且只属于其中一条链,然后再通过数据结构(树状数组、SBT、SPLAY、线段树等)来维护每一条链。

  使用这种方法后,一般可以将修改和查询的复杂度降为 $O(logn)$。

•树链剖分的方法

  • 将树中的边分为:重边和轻边

  • 定义 $size(x)$ 为以 $x$ 为根的子树的节点个数
  • 令 $v$ 为 $u$ 的儿子节点中 $size$ 值最大的节点,那么 $v$ 称为 $u$ 的重儿子,边 $(u,v)$ 被称为重边
  • 树中重边之外的边被称为轻边
  • 全部由重边构成的路径称为重链

  例如,图中有5条重链:

    1→3→6→10
    2→5→9
    4
    7
    8

  相关变量解释:

    • $siz[i]$ : 以结点 $i$ 为根的子树中结点的个数
    • $son[i]$ : 结点 $i$ 的重儿子
    • $dep[i]$ : 结点 $i$ 的深度,根的深度为 $0$
    • $top[i]$ : 结点 $i$所在重链的链首结点
    • $fa[i]$ : 结点$i$的父结点
    • $tid[i]$ : 在 $DFS$ 找重链的过程中为结点 $i$ 重新编的号码,每条重链上的结点编号是连续的
    • $rid[i]$ : 与 $tid$ 的作用正好相反,编号 $i$ 对应的节点编号

•树链剖分的过程

  •  两次 $DFS$
  • 第一次 $DFS$ 找重边,顺便求出所有的 $siz[i],dep[i],fa[i],son[i]$
  • 第二次DFS将重边连成重链,顺便求出所有的 $top[i],tid[i],rid[i]$
 1 void DFS1(int u,int f,int depth)///第一遍DFS求出fa,dep,siz,son
 2 {
 3     fa[u]=f;
 4     siz[u]=1;
 5     dep[u]=depth;
 6     for(int i=head[u];~i;i=G[i].next)
 7     {
 8         int v=G[i].to;
 9         
10         if(v == f)///此处是v == f才continue,在这儿出过错
11             continue;
12             
13         DFS1(v,u,depth+1);
14         
15         siz[u] += siz[v];
16         if(son[u] == -1 || siz[v] > siz[son[u]])///更新u的重儿子
17             son[u]=v;
18     }
19 }
DFS1
 1 void DFS2(int u,int anc,int &k)///第二遍DFS求出 tid,rid,top
 2 {
 3     top[u]=anc;
 4     tid[u]=++k;
 5     rid[k]=u;
 6     if(son[u] == -1)
 7         return ;
 8     DFS2(son[u],anc,k);
 9 
10     for(int i=head[u];~i;i=G[i].next)
11     {
12         int v=G[i].to;
13         if(v != son[u] && v != fa[u])
14             DFS2(v,v,k);
15     }
16 }
DFS2

  入门题:http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3253741.html

 

posted @ 2018-09-27 09:38  HHHyacinth  阅读(336)  评论(0编辑  收藏  举报