初始主席树

 

•参考资料

　　[1]:树状结构之主席树

　　[2]:主席树入门详解+题目推荐

　　[3]:主席树 by 孤独·粲泽

　　[4]:主席树（入门篇）

•抛出问题

　　给定 n 个数，m 次操作，操作类型有：
　　　　（1）在某个历史版本下的单点修改；
　　　　（2）输出某个历史版本下某个位置的值的值；
　　其中 $n,m\leq 10^6$;

•问题的解

　　这类问题，一般可以通过主席树解决；

　　因为每次操作只改变单点的值，那么形成的新版本较当前的版本而言，只是改变了某条链；

　　而线段树中，最长的链的节点个数不超过  $log_{2} n+1$，所以只需改变这 $log_{2} n+1$ 个节点的信息即可；

　　而其他节点均可重用之前版本的节点信息；

•相关题目

　　上述问题可以参考这道题目：洛谷 P3919 【模板】可持久化数组（可持久化线段树/平衡树）

　　题目解析的话，参考这篇博文：P3919 【模板】可持久化数组 -初步探究主席树

　　在博主巨巨的影响下，我的代码风格顺利同步过去；

•Code

　　洛谷3919.cpp

•另一类问题

　　给你 n 个数，m 次询问，每次询问 [l,r] 区间第 k 小的值；

•问题的解

　　这或许是主席树的经典题目吧；

　　建立 n+1 个线段树，每个线段树维护一个前缀和，并用 rt[] 记录第 i 个线段树的根节点；

　　询问的时候，只需要将 rt[ r ] 与 rt[ l-1 ] 做差即可；

•相关题目

　　与此相关的一道题目为：HDU2665 Kth number

　　题干要求是求第 k 大，但实际求的是第 k 小，按照求第 k 小的思路求解即可；

　　推荐博客：树状结构之主席树

•Code

　　HDU2665.cpp

•进阶题目（HDU4417 "Super Mario"）

　　给你 n 个数，m 次询问，每次询问 [l,r] 中有多少数小于等于 k；

•题解

　　和上一个求区间第 k 小的题目相仿，只不过在查找的时候不同；

　　定义 $query(l,r,pos,k)$ : 以 pos 为根节点的线段树中，小于等于 k 的总个数；

　　$ans = query(0,siz,rt[r],k) - query(0,siz,rt[l-1],k)$;

　　因为存在 k 小于任意一个数的情况，所以建树的时候从 0 开始，即 $build(0,siz,1)$;

　　siz : 将 n 个数去重后的数的个数；

•Code

　　HDU4417.cpp

•踩坑

　　1.b数组去重后的大小为 siz，不管是建树，还是更新或查询，最大范围为 siz 而不是 n；

　　2.查找 k 所处的位置是用 $upper_bound()-(b+1)$，因为 b 中可能不包含 k；