正交信号传输非相干检测的错误概率

假设M个等概等能量载波调制的正交信号在AWGN信道上传输。在接收机中这些信号被非相干解调和最佳检测。例如，在正交FSK信号的相干检测中就遇到与此类似的情况。其等效低通信号可以表示为M个N维矢量(N=M)。

\[\begin{aligned} \bold{s_{1l}} &= (\sqrt{2\mathcal{E}_{s}},0,0,\cdots,0)\\ \bold{s_{2l}} &= (0,\sqrt{2\mathcal{E}_{s}},0,\cdots,0)\\ &\vdots\\ \bold{s_{Ml}} &= (0,0,\cdots,0,\sqrt{\mathcal{E}_{s}}) \end{aligned}\tag{1}\]

因为星座图的对称性，不失一般性地可以假设发送\(\bold{s_{1l}}\)。所以接收矢量为

\[r_{l}=e^{j\phi}\bold{s_{1l}+n_{l}}\tag{2} \]

式中，\(\bold{n_{l}}\)是零均值复环高斯随即矢量，其每一复分量的方差等于\(2N_{0}\)。最佳接收机计算并比较\(|\bold{r_{l}\cdot s_{ml}}|\)（对所有\(1\le m\le M\)），得到

\[\begin{aligned} |\bold{r_{l}\cdot s_{1l}}| &= |2\mathcal{E}_{s}e^{j\phi}+\bold{n_{l}\cdot s_{1l}}|\\ |\bold{r_{l}\cdot s_{ml}}| &= |\bold{n_{l}\cdot s_{ml}}|，2\le m\le M\\ \end{aligned} \tag{3} \]

对于\(1\le m\le M,\bold{n_{l}\cdot s_{ml}}\)是零均值复环高斯随机变量，其方差为\(4\mathcal{E}_{s}N_{0}\)(每个实部和虚部为\(2\mathcal{E}_{s}N_{0})\)。由式(4-5-32)可见

\[\begin{aligned} \text{Re}[\bold{r_{l}\cdot s_{1l}}]&\sim \mathcal{N}(2\mathcal{E}_{s}\cos\phi,2\mathcal{E}_{s}N_{0})\\ \text{Im}[\bold{r_{l}\cdot s_{1l}}]&\sim \mathcal{N}(2\mathcal{E}_{s}\sin\phi,2\mathcal{E}_{s}N_{0})\\ \text{Re}[\bold{r_{l}\cdot s_{1l}}]&\sim \mathcal{N}(0,2\mathcal{E}_{s}N_{0}),\quad 2\le m\le M\\ \text{Im}[\bold{r_{l}\cdot s_{1l}}]&\sim \mathcal{N}(0,2\mathcal{E}_{s}N_{0}),\quad 2\le m\le M\\ \end{aligned}\tag{4}\]

根据瑞利(Rayleigh)和莱斯(Ricean)随机变量的定义，可以断定如下定义的随机变量\(R_{m}，(1\le m\le M)\)

\[R_{m} = |\bold{r_{l}\cdot s_{ml}}|\quad 1\le m\le M\tag{5} \]

是独立的随机变量。\(R_{1}\)服从赖斯分布，其参数为\(s=2\mathcal{E}_{s}\)和\(\sigma^{2}=2\mathcal{E}_{s}N_{0}; R_{m}(2\le m\le M)\)是参数为\(\sigma^{2}=2\mathcal{E}_{s}N_{0}\)的瑞利随机变量。换言之

\[p_{R_{1}}(r_{1}) = \left \{ \begin{aligned} &\frac{r_{1}}{\sigma^{2}}I_{0}(s\bold{r_{1}}/\sigma^{2})e^{-\frac{r_{1}^{2}+s^{2}}{2\sigma^{2}}},\quad &r_{1}>0\\ &0,\quad &\text{otherwise}\end{aligned}\right. \tag{6}\]

和

\[p_{R_{m}}(r_{m})=\left\{\begin{aligned} &\bold{r_{m}}/\sigma^{2}e^{-\frac{r_{m}^{2}}{2\sigma^{2}}},\quad &r_{m} > 0\\ &0,\quad &\text{otherwise} \end{aligned}\right.\tag{7} \]

式中，\(2\le m\le M\)。因为假设发送\(\bold{s_{1l}}\)，如果\(R_{1}>R_{m}(2\le m\le M)\)则接收机判决正确。虽然随机变量\(R_{m}(1\le m\le M)\)是统计独立的，但事件\(R_{1}>R_{2},R_{1}>R_{3},\cdots,R_{1}>R_{M}\)不是独立的，因为有共同的\(R_{1}\)存在。为了使它们独立，需要在\(R_{1}=r_{1}\)条件下对所有\(r_{1}\)值求平均。所以

\[\begin{aligned} P_{c} &= P[R_{2}<R_{1},R_{3}<R_{1},\cdots,R_{M}<R_{1}]\\ &=\int_{0}^{\infty}P[R_{2}<r_{1},R_{3}<r_{1},\cdots,R_{M}<r_{1}|R_{1}=r_{1}]p_{R_{1}}(r_{1})dr_{1}\\ &=\int_{0}^{\infty}\Big(P[R_{2}<r_{1}]\Big)^{M-1}p_{R_{1}}(r_{1})dr_{1} \end{aligned}\tag{8}\]

另外

\[P[R_{2}<r_{1}] = \int_{0}^{r_{1}}p_{R_{2}}(r_{2})dr_{2}=1-e^{-\frac{r_{1}^{2}}{2\sigma^{2}}} \]

利用二项式展开式，得到

\[\left(1-e^{-\frac{r_{1}^{2}}{2\sigma^{2}}}\right)^{M-1}=\sum_{n=0}^{M-1}(-1)^{n}\binom{M-1}{n}e^{-\frac{nr_{1}^{2}}{2\sigma^{2}}} \]

带入(8)式，得到

\[\begin{aligned} P_{c} &= \sum_{n=0}^{M-1}(-1)^{n}\binom{M-1}{n}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{nr_{1}^{2}}{2\sigma^{2}}}\frac{r_{1}}{\sigma^{2}}I_{0}\left(\frac{s r_{1}}{\sigma^{2}}\right)e^{-\frac{r_{1}^{2}+s^{2}}{2\sigma^{2}}}dr_{1}\\ &=\sum_{n=0}^{M-1}(-1)^{n}\binom{M-1}{n}\int_{0}^{\infty}\frac{r_{1}}{\sigma^{2}}I_{0}\left(\frac{s r_{1}}{\sigma^{2}}\right)e^{-\frac{(n+1)r_{1}^{2}+s^{2}}{2\sigma^{2}}}dr_{1}\\ &=\sum_{n=0}^{M-1}(-1)^{n}\binom{M-1}{n}e^{-\frac{ns^{2}}{2(n+1)\sigma^{2}}}\int_{0}^{\infty}\frac{r_{1}}{\sigma^{2}}I_{0}\left(\frac{s r_{1}}{\sigma^{2}}\right)e^{-\frac{(n+1)r_{1}^{2}+\frac{s^{2}}{n+1}}{2\sigma^{2}}}dr_{1}\\ \end{aligned}\tag{9}\]

引入变量置换

\[s'=\frac{s}{\sqrt{n+1}},\quad r'=r_{1}\sqrt{n+1} \]

式（9）的积分为

\[\begin{aligned} \int_{0}^{\infty}\frac{r_{1}}{\sigma^{2}}I_{0}\left(\frac{s r_{1}}{\sigma^{2}}\right)e^{-\frac{(n+1)r_{1}^{2}+\frac{s^{2}}{n+1}}{2\sigma^{2}}}dr_{1}&=\frac{1}{n+1}\int_{0}^{\infty}\frac{r'}{\sigma^{2}}I_{0}\left(\frac{r's'}{\sigma^{2}}\right)e^{-\frac{s'^{2}+r'^{2}}{2\sigma^{2}}}dr'\\ &=\frac{1}{n+1} \end{aligned}\]

上式利用了这样的事实：在莱斯PDF下的面积等于1。将上式带入(9)式，并注意\(s^{2}/2\sigma^{2}=4\mathcal{E}_{s}^{2}/4\mathcal{E}_{s}N_{0}=\mathcal{E}_{s}/N_{0}\)，得到

\[P_{c}=\sum_{n=0}^{M-1}\frac{(-1)^{n}}{n+1}\binom{M-1}{n}e^{-\frac{n}{n+1}\frac{\mathcal{E}_{s}}{N_{0}}}\tag{10} \]

那么，错误概率为

\[P_{e}=\sum_{n=1}^{M-1}\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\binom{M-1}{n}e^{-\frac{n\log_{2}M}{n+1}\frac{\mathcal{E}_{s}}{N_{0}}}\tag{11} \]

对于二进制正交信号传输，包括非相干检测二进制正交FSK，式（10）可简化为

\[P_{b}=\frac{1}{2}e^{-\frac{\mathcal{E}_{b}}{2N_{0}}} \]

将此结果与二进制正交信号相干检测的错误概率

\[P_{b}=Q\left(\sqrt{\frac{\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right) \]

比较，并利用不等式\(Q(x)\le \frac{1}{2}e^{-x^{2}/2}\)，可知\(P_{\text{b,noncoh}}\ge P_{b,\text{coh}}\)，正如所预期。当错误概率低于\(10^{-4}\)时，二进制正交信号的相干与非相干检测性能差别小于0.8dB。

当\(M>2\)时，利用关系式

\[P_{b}=\frac{2^{k-1}}{2^{k}-1}P_{e}\tag{12} \]

可计算比特错误概率。图(1)展示了当M=2,4,8,16和32时的比特错误概率，它是比特SNR\(\gamma_{b}\)的函数。

正交信号非相干检测的比特错误概率

正如M元正交信号相干检测的情况那样，对任何给定的比特错误概率，比特SNR随M增大而减少。