正交信号传输的最佳检测和错误概率

在等能量的正交信号传输方式中，\(N=M\)，该信号的矢量表示为

\[\begin{aligned} \bold{s_{1}} &= (\sqrt{\mathcal{E}},0,\cdots,0)\\ \bold{s_{2}} &= (0, \sqrt{\mathcal{E}},\cdots,0)\\ &\vdots\\ \bold{s_{M}} &= (0,0,\cdots,\sqrt{\mathcal{E}}) \end{aligned}\tag{1}\]

对等概、等能量的正交信号，最佳检测器根据接收矢量\(\bold{r}\)与M个可能的发送信号矢量\(\{\bold{s_{m}}\}\)之间的互相关最大来选择信号，即

\[\bold{\hat{s}_{m}}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\bold{r\cdot s_{m}} \]

由于星座图的对称性，其中任意两信号点之间的距离等于\(\sqrt{2\mathcal{E}}\)，故错误概率与发送信号无关。所以，可假设发送信号\(\bold{s_{1}}\)来导出错误概率，此时接收信号为

\[\bold{r} = (\mathcal{E}+n_{1},n_{2},\cdots,n_{M}) \]

式中，\(\sqrt{\mathcal{E}}\)表示符号能量，\(n_{1},n_{2},\cdots,n_{M}\)是零均值，等方差\(\sigma_{n}^{2}=\frac{1}{2}N_{0}\)相互统计独立的高斯随机变量。

定义随机变量\(R_{m}(1\le m\le M)\)为

\[R_{m}=\bold{r\cdot s_{m}} \]

那么

\[\begin{aligned} R_{1} &= (\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1},n_{2},\cdots,n_{M})\cdot(\sqrt{\mathcal{E}},0,\cdots,0)=\mathcal{E}+\sqrt{\mathcal{E}}n_{1}\\ R_{m}&=\sqrt{\mathcal{E}}n_{m},\quad 2\le m\le M \end{aligned} \]

由于假定发送\(\bold{s_{1}}\)，当\(R_{1}>R_{m}(m=2,3,\cdots,M)\)时，检测器判决正确。那么正确判决概率为

\[\begin{aligned} P_{c}&=P[R_{1}>R_{2},R_{1}>R_{3},\cdots,R_{1}>R_{m}|\bold{s_{1}}\text{ sent}]\\ &=P[\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1}>n_{2},\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1}>n_{3},\cdots,\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1}>n_{M}|\bold{s_{1}}\text{ sent}] \end{aligned}\]

事件\(\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1}>n_{2},\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1}>n_{3},\cdots,\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1}>n_{M}\)不是独立的，这是由于其中都有随机变量\(n_{1}\)。然而，条件\(n_{1}\)能使这些事件独立。所以

\[\begin{aligned} P_{c}&=\int_{-\infty}^{\infty}P[\sqrt{\mathcal{E}}+n>n_{2},\sqrt{\mathcal{E}}+n>n_{3},\cdots,\sqrt{\mathcal{E}}+n>n_{M}|\bold{s_{1}}\text{ sent},n_{1}=n]p_{n_{1}}(n)dn\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left(P\left[n_{2}<n+\sqrt{\mathcal{E}}|\bold{s_{1}}\text{ sent},n_{1}=n\right]\right)^{M-1}p_{n_{1}}(n)dn \end{aligned} \tag{2} \]

上式最后一步利用了这样的事实：\(n_{m}(m=2,3,\cdots,M)\)是独立同分布(iid)随机变量。于是

\[P[n_{2}<n+\sqrt{\mathcal{E}}|\bold{s_{1}}\text{ sent},n_{1}=n]=1-Q\left(\frac{n+\sqrt{\mathcal{E}}}{N_{0}/2}\right) \]

因此，

\[P_{c}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}}\left[1-Q\left(\frac{n+\sqrt{\mathcal{E}}}{N_{0}/2}\right)\right]^{M-1}e^{-\frac{n^{2}}{N_{0}}}dn\tag{3} \]

那么

\[P_{e}=1-P_{c}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}[1-(1-Q(x))^{M-1}]e^{-\frac{(x-\sqrt{2\mathcal{E}/N_{0}})^{2}}{2}}dx\tag{4} \]

式中引入了一个新变量\(x=(n+\sqrt{\mathcal{E}})/\sqrt{N_{0}/2}\)。一般地，式(4)不能化简，错误概率可以通过不同SNR值的数值计算得到。

在正交信号传输中，由于星座图的对称性，当发送\(\bold{s_{1}}\)时接收任何消息\(m=2,3,\cdots,M\)的概率是相等的。所以，对任何\(2\le m\le M\)

\[P[\bold{s_{m}}\text{ received}|\bold{s_{1}}\text{ sent}]=\frac{P_{e}}{M-1}=\frac{P_{e}}{2^{k}-1}\tag{5} \]

假设\(\bold{s_{1}}\)对应于长度为k且第一分量为0的数据序列。该分量的差错概率就是第一分量为1的序列对应的\(s_{m}\)的检测概率。因为有\(2^{k-1}\)个这样的序列，故

\[P_{b}=2^{k-1}\frac{P_{e}}{2^{k}-1}=\frac{2^{k-1}}{2^{k}-1}P_{e}\approx\frac{1}{2}P_{e}\tag{6} \]

式中，当\(k\ge 1\)时，最后一步近似成立。

图1：正交信号传输的比特错误概率

图1所示为当M=2,4,8,16,32和64时正交二进制信号比特差错概率的曲线，它们是比特SNR(\(\mathcal{E}_{b}/N_{0}\))的函数。该图表明，为获得给定的比特错误，增加波形数M可以降低比特SNR的要求。例如，要达到\(P_{b}=10^{-5}\)，对\(M=2\)则要求比特SNR略高于12dB，而当M增加到64个信号波形时(每符号6比特)，则要求比特SNR近似为6dB。因此，为获得\(P_{b}=10^{-5}\)，将M从\(M=2\)增加到\(M=64\)，可节省发送功率（或能量）超过6dB（减少4倍）。这个性质可直接与ASK，PSK和QAM信号传输的性能特征比较，后者为达到给定的错误概率，提高M则要求增加功率。

1. FSK信号传输的错误概率

FSK信号传输变为正交信号传输的一个特例时的频率间隔\(\Delta f\)为

\[\Delta f = \frac{l}{2T}\tag{7} \]

式中，\(l\)为正整数。对该频率间隔值，M元FSK的错误概率由式(4)确定。

2.正交信号传输错误概率的一致边界

最大似然检测错误概率的一致边界中得出了

\[P_{e}\le \frac{M-1}{2}e^{-\frac{d_{\min}^{2}}{4N_{0}}}\tag{8} \]

正交信号传输的\(d_{\min}=\sqrt{2\mathcal{E}}\)，所以

\[P_{e}\le \frac{M-1}{2}e^{-\frac{\mathcal{E}}{2N_{0}}}<Me^{-\frac{\mathcal{E}}{2N_{0}}} \]

利用\(M=2^{k}\)和\(\mathcal{E}_{b}=\mathcal{E}/k\)，得到

\[P_{e}<2^{k}e^{-\frac{k\mathcal{E}_{b}}{2N_{0}}}=e^{-\frac{k}{2}\left(\frac{\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}-2\ln2\right)}\tag{9} \]

式(9)表明，如果

\[\frac{\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}>2\ln 2=1.39\sim 1.42\text{dB} \]

则当\(k\rightarrow\infty\)时\(P_{e}\rightarrow 0\)。