图1所示为M元PSK信号星座图，其中\(D_{1}\)为信号\(\bold{s_{1}}\)的判决域。假定消息等概率，那么判决域是基于最小距离的。
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图1：PSK信号星座图
由于星座图的对称性，该系统的错误概率等于发送\(\bold{s_{1}}=(\sqrt{\mathcal{E}},0)\)时的错误概率。
接收矢量为
\[\bold{r}=(r_{1},r_{2})=(\sqrt{\mathcal{E}}+n_{1}, n_{2})\tag{1}
\]
(1)式表明，\(r_{1},r_{2}\)是方差为\(\sigma^{2}=N_{0}/2\)，均值分别为\(\sqrt{\mathcal{E}}\)和\(0\)的独立高斯随机变量。因此
\[p(r_{1},r_{2})=\frac{1}{\pi N_{0}}e^{-\frac{(r_{1}-\sqrt{\mathcal{E}})^{2}+r_{2}^{2}}{N_{0}}}\tag{2}
\]
采用极坐标描述判决域\(D_{1}\)会更方便。因此，引入\((r_{1},r_{2})\)的极坐标变换如下：
\[V=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}},\quad \Theta=\arctan(r_{2}/r_{1})
\]
据此，可导出\(V\)和\(\Theta\)的联合PDF为
\[p_{V,\Theta}(v,\theta)=\frac{v}{\pi N_{0}}e^{-\frac{v^{2}+\mathcal{E}-2\sqrt{\mathcal{E}}v\cos\theta}{N_{0}}}\tag{3}
\]
对\(V\)积分导出\(\Theta\)的边际PDF为
\[\begin{aligned}
p_{\Theta}(\theta) &= \int_{0}^{\infty}p_{V,\Theta}(v,\theta)dv\\
&=\frac{1}{2\pi}e^{-\gamma_{s}\sin^{2}\theta}\int_{0}^{\infty}ve^{-\frac{(v-\sqrt{2\gamma_{s}}\cos\theta)^{2}}{2}}dv
\end{aligned}\tag{4}\]
上式中，符号SNR定义为
\[\gamma_{s}=\frac{\mathcal{E}}{N_{0}}\tag{5}
\]
图2显示了\(\gamma_{s}\)取几个不同值时的\(p_{\Theta}(\theta)\)。
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图2：$\Theta$的PDF，其中$\gamma_{s}=1,2,4,10$
可以看出，当$\gamma_{s}$增大时，$p_{\Theta}(\theta)$在$\theta=0$附近变得更窄、更尖。
判决域\(D_{1}\)可描述为\(D_{1}=\{\theta:-\pi/M < \theta \le \pi/M\}\)，所以消息错误概率为
\[P_{e} = 1-\int_{-\pi/M}^{\pi/M}p_{\Theta}(\theta)d\theta \tag{6}
\]
一般情况下，\(p_{\Theta}(\theta)\)的积分不能简化为简单的形式，除M=2和M=4外，必须采用数值计算。
对于M=2的二进制相位调制，\(s_{1}(t)\)和\(s_{2}(t)\)是双极性信号，因此错误概率为
\[P_{b} = Q\left(\sqrt{\frac{2\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right)\tag{7}
\]
对于M=4的四相相位调制，其相当于两个相位正交的二进制相位调制。因为两个正交载波不相互干扰，所以比特错误概率与式(7)相同。另一方面，\(M=4\)的符号错误概率可通过比特符号的正确判决概率\(P_{c}\)来确定
\[P_{c}=(1-P_{b})^{2}=\left[1-Q\left(\sqrt{\frac{2\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right)\right]^{2}\tag{8}
\]
因此，M=4的符号错误概率是
\[P_{b}=1-P_{c}=2Q\left(\sqrt{\frac{2\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right)\left[1-\frac{1}{2}Q\left(\sqrt{\frac{2\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right)\right]\tag{9}
\]
对于M>4，通过对式(4-3-12)数值积分可得到符号错误概率\(P_{e}\)。图3显示了当M=2,4,8,16和32时作为比特SNR函数的错误概率。
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图1：PSK信号的符号错误概率
上图显示了当M=4时，比特SNR付出的代价。例如，当\(P_{e}=10^{-5}\)时，M=4与M=8之间的差别近似为4dB，而在M=8与M=16之间的差别近似为5dB。对于较大的M值，当相位数目成倍增加时，若要达到同样的性能，则要求附加6dB/bit。该性能类似于ASK信号传输方式的性能。
在大M值和大SNR值情况下，错误概率主要利用\(p_{\Theta}(\theta)\)的近似表达式求得。对于\(\mathcal{E}_{s}/N_{0}\gg 1\)且\(|\theta|\le \frac{1}{2}\pi\)，\(p_{\Theta}(\theta)\)较好地近似为
\[p_{\Theta}(\theta)\approx\sqrt{\frac{\gamma_{s}}{\pi}}\cos\theta e^{-\gamma_{s}\sin^{2}\theta}\tag{10}
\]
此时
\[\begin{aligned}
P_{e} &\approx 1-\int_{-\pi/M}^{\pi/M}\sqrt{\frac{\gamma_{s}}{\pi}}\cos\theta e^{-\gamma_{s}\sin^{2}\theta}d\theta\\
&\overset{u=\sqrt{\gamma_s}\sin\theta}{=}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{\sqrt{2\gamma_{s}}\sin(\pi/M)}^{\infty}e^{-u^{2}}du\\
&=2Q\left(\sqrt{2\gamma_{s}}\sin(\frac{\pi}{M})\right)\\
&=2Q\left(\sqrt{(2\log_{2}M)\sin^{2}\left(\frac{\pi}{M}\right)\frac{\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right)
\end{aligned}\tag{11}\]
上式中，利用了比特SNR的定义
\[\frac{\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}=\frac{\mathcal{E}}{N_{0}\log_{2}M}=\frac{\gamma_{s}}{\log_{2}M}
\]
式(11)对错误概率的近似程度对所有M都是比较好的。对于大M的情况，可利用近似式\(\sin\frac{\pi}{M}\approx\pi\)可求得大M的另一种近似式为
\[P_{e}\approx 2Q\left(\sqrt{\frac{2\pi^{2}\log_{2}M}{M^{2}}\frac{\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right)\quad \text{M较大时}\tag{12}
\]
上式清楚地表明，M加倍使有效地比特SNR减少了6dB。
推导M元PSK等价的比特错误概率是不容易的，这是由于这种推导与k比特符号的映射有关。当在映射种采用格雷(Gray)码时，相应于邻近的两个k比特符号仅相差1比特。由于噪声引起的大多数可能的差错情况是错误地选择了与正确相位相邻的相位，所以k比特符号差错仅包含单个比特差错。因此，M元PSK的等价比特错误概率较好地近似为
\[P_{b}\approx\frac{1}{k}P_{e}\tag{13}
\]
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