ASK信号传输的最佳检测和错误概率

图1所示为ASK信号传输方式的星座图。

图1：ASK星座图

上图中，任意两点直接的最小距离为\(d_{\min}\)，它由下式确定：

\[d_{\min}=\sqrt{\frac{12\log_{2}M}{M^{2}-1}\mathcal{E}_{\text{bavg}}}\tag{1} \]

星座点位于\(\{\pm\frac{1}{2}d_{\min},\pm\frac{3}{2}d_{\min},\cdots,\pm\frac{M-1}{2}d_{\min}\}\)。

ASK星座图中有两种类型的点：\(M-2\)个内点和2个外点。如果一个内点被发送，当\(|n|>d_{\min}/2\)时就发生检测错误。外点的错误概率是内点错误概率的一半，这是由于噪声仅在一个方向引o起错误。内点和外点的错误概率分别记为\(P_{ei}\)和\(P_{eo}\)。

因为\(n\)是均值为零，方差为\(N_{0}/2\)的高斯随机变量，则有

\[P_{ei}=P\left[|n|>\frac{1}{2}d_{\min}\right]=2Q\left(\frac{d_{\min}}{\sqrt{2N_{0}}}\right)\tag{2} \]

对于外点，

\[P_{eo}=\frac{1}{2}P_{ei}=Q\left(\frac{d_{\min}}{\sqrt{2N_{0}}}\right)\tag{3} \]

符号错误概率为

\[\begin{aligned} P_{e}&=\frac{1}{M}\sum_{m=1}^{M}P[\text{error|m sent}]\\ &=\frac{1}{M}\left[(M-2)2Q\left(\frac{d_{\min}}{\sqrt{2N_{0}}}\right)+2Q\left(\frac{d_{\min}}{\sqrt{2N_{0}}}\right)\right]\\ &=\frac{2(M-1)}{M}Q\left(\frac{d_{\min}}{\sqrt{2N_{0}}}\right) \end{aligned}\tag{4}\]

将(1)式中的\(d_{\min}\)带入，得到

\[\begin{aligned} P_{e}&=2\left(1-\frac{1}{M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{6\log_{2}M}{M^{2}-1}\frac{\mathcal{E}_{\text{bavg}}}{N_{0}}}\right)\\ &\approx 2Q\left(\sqrt{\frac{6\log_{2}M}{M^{2}-1}\frac{\mathcal{E}_{\text{bavg}}}{N_{0}}}\right) \end{aligned}\]

平均比特信噪比\(\frac{\mathcal{E}_{\text{bavg}}}{N_{0}}\)用\(6\log_{2}M/(M^2-1)\)标度。该因子随M增加而趋于0，这意味着当M增加时，要保持错误概率不变，必须提高比特SNR。对于较大的M，M加倍(等效每次传输增加1比特)，要保持性能不变，大约需要将比特信噪比提高4倍，即增加6dB。也就是说，根据经验传输速率增加1bit将引起功率增加6dB。

图2所示为基带ASK不同M值的错误概率曲线，它是平均比特SNR的函数。显然可见，增大M会使性能恶化，当M较大时，相应于M与2M的曲线之间的距离约为6dB。

图2：基带ASK的符号错误概率