AWGN信道最佳接收机的实现

1.相关接收机

AWGN信道最佳接收机采用由下式确定的MAP判决规则。

\[\bold{\hat{s}_{m}}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}[\eta_{m}+\bold{r\cdot s_{m}}],\quad \eta_{m}=\frac{N_{0}}{2}\ln P_{m}-\frac{1}{2}\mathcal{E}_{m}\tag{1} \]

然而，接收机的输入为\(r(t)\)，而不是矢量\(\bold{r}\)。在接收机中实现式(1)的第一步是由接收信号\(r(t)\)导出\(\bold{r}\)。可以利用关系式

\[r_{j}=\int_{-\infty}^{\infty}r(t)\phi_{j}(t)dt\tag{2} \]

接收机用每一个基函数\(\phi_{j}(t)\)乘以\(r(t)\)再积分得到\(\bold{r}\)的全部分量。其次，求\(\bold{r}\)与每一个\(\bold{s_{m}}, (1\le m\le M)\)的内积，最后再加上偏差项\(\eta_{m}\)，比较该结果并选择最大结果的\(\bold{s_{m}}\)。因为接收信号与每一个\(\phi_{j}(t)\)相关运算，这种最佳接收机的实现方法称为相关接收机。

具有N各相关器的相关接收机的结构如下图所示：

图1：具有N个相关器的相关接收机的结构

\(\eta_{m}\)和\(\bold{s_{m}}\)独立于接收信号\(r(t)\)，因此它们只计算一次然后存储在存储器中，后面只需要读取即可。上图中需要不停计算的部分就是计算\(\bold{r\cdot s_{m}},(1\le m\le M)\)的相关器。

式(1)确定的最佳检测规则等价于下式

\[\bold{\hat{s}_{m}}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[\eta_{m}+\int_{-\infty}^{\infty}r(t)s_{m}(t)dt\right],\quad \eta_{m}=\frac{N_{0}}{2}\ln P_{m}-\frac{1}{2}\mathcal{E}_{m}\tag{3} \]

因此，\(\bold{r\cdot s_{m}}\)可以直接由\(r(t)\)与\(s_{m}(t)\)相关求得。下图展示了这种实现方法，它是相关接收机的第二种形式。

图2：具有M个相关器的相关接收机的结构

虽然图2的结构看上去比图1的结构简单，但是大多数情况下\(N<M\)（实际上\(N\ll M\)），图1的相关接收机通常式优选的实现方法。

2.匹配滤波器接收机

上面两种相关接收机的实现方法中，都需要计算

\[r_{x} = \int_{-\infty}^{\infty}r(t)x(t)dt\tag{4} \]

式中，\(x(t)\)是\(\phi_{j}(t)\)或\(s_{m}(t)\)。如果定义\(h(t)=x(T-t)\)，其中\(T\)为任意值，具有冲激响应\(h(t)\)的滤波器称为匹配于\(x(t)\)的滤波器，或匹配滤波器。如果该滤波器的输入为\(r(t)\)，则其输出\(y(t)\)为\(r(t)\)与\(h(t)\)的卷积

\[y(t)=r(t)\star h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)h(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)x(T-t+\tau)d\tau\tag{5} \]

式(5)表明

\[r_{x} = y(T)=\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)x(\tau)d\tau\tag{6} \]

对比式(4)与式(6)可以发现，相关器的输出\(r_{x}\)可以通过匹配滤波器在\(t=T\)时刻抽样得到。需要注意的是：抽样时刻必须准确为\(t=T\)，其中T在匹配滤波器的设计中取任意值。从可实现方面看，\(T\)的选择原则必须使滤波器符合因果关系，即当\(t<0\)时，\(h(t)=0\)，这就要对T的可能取值加以限制。最佳接收机的匹配滤波器的实现如图3所示：

图3：具有N个相关器的匹配滤波器接收机

另一种具有M个匹配于\(\{s_{m}(t),1\le m\le M\}\)的匹配滤波器的实现方式是可能的，它类似于图2所示的相关接收机。

3.匹配滤波器的频域解释

匹配于任意信号\(s(t)\)的匹配滤波器可作频域解释。因为\(h(t)=s(T-t)\)，采用基本的傅里叶变换性质，得到该关系式的傅里叶变换为：

\[H(f)=S^{*}(f)e^{-j2\pi fT}\tag{7} \]

可以看出，匹配滤波器的频率响应是发送信号谱的共轭乘以相位因子\(e^{-j2\pi fT}\)，该相位因子表示抽样延时T。换言之，\(|H(f)|=|S(f)|\)，匹配滤波器与发送信号的幅度响应相同。\(H(t)\)是\(S(f)\)相移\(-2\pi fT\)。

匹配滤波器的另一个有趣的性质是信噪比最大性质。假设\(r(t)=s(t)+n(t)\)通过一个冲激响应为\(h(t)\)，频域响应为\(H(f)\)的滤波器，输出\(y(t)=y_{s}(t)+v(t)\)在T时刻抽样，输出由信号部分\(y_{s}(t)\)和噪声部分\(v(t)\)组成，前者的傅里叶变换为\(H(f)S(f)\)，后者的功率谱密度为\(\frac{N_{0}}{2}|H(f)|^{2}\)。在T时刻对这些分量抽样的到

\[y_{s}(T)=\int_{-\infty}^{\infty}H(f)S(f)e^{j2\pi fT}df\tag{8} \]

以及零均值高斯分量\(v(T)\)，其方差为

\[\text{VAR}[v(T)]=\frac{N_{0}}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^{2}df=\frac{N_{0}}{2}\mathcal{E}_{h}\tag{9} \]

式中，\(\mathcal{E}_{h}\)为\(h(t)\)的能量。定义滤波器\(H(f)\)的输出端的信噪比为

\[\text{SNR}_{o}=\frac{y_{s}^{2}(T)}{\text{VAR}[v(T)]}\tag{10} \]

由柯西-许瓦兹不等式有：

\[\begin{aligned} y_{s}^{2}(T)&=\left|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)S(f)e^{j2\pi fT}df\right|^{2}\\ &\le \left|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)df\right|^{2}\cdot \left|\int_{-\infty}^{\infty}S(f)e^{j2\pi fT}df\right|^{2}\\ &=\mathcal{E}_{h}\mathcal{E}_{s} \end{aligned}\tag{11}\]

当且仅当\(H(f)=aS^{*}(f)e^{-j2\pi fT}\)（其中\(a\)为复常数）时，不等式变为等式。结合式(9),(10),(11)可以得到

\[\text{SNR}_{o}\le \frac{\mathcal{E}_{h}\mathcal{E}_{s}}{\frac{N_{0}}{2}\mathcal{E}_{h}}=\frac{2\mathcal{E}_s}{N_{0}}\tag{12} \]

这表明，要使滤波器输出信噪比最大，则\(H(f)\)必须满足关系式\(H(f)=S^{*}(f)e^{-j2\pi fT}\)，即它是一个匹配滤波器。同时也表明，最大可能输出信噪比为\(2\mathcal{E}_{s}/N_{0}\)。