波形AWGN信道由输入与输出的关系式描述
\[r(t)=s_{m}(t)+n(t)\tag{1}
\]
式中，\(s_{m}(t)\)是M个可能信号\(\{s_{1}(t),s_{2}(t),\cdots,s_{M}(t)\}\)之一，每一信号基于先验概率\(P_{m}\)进行选取。\(n(t)\)是零均值高斯白噪声，其功率谱密度为\(N_{0}/2\)。
假设利用施密特正交化方法，导出正标准正交基\(\{\phi_{j}(t),1\le j\le N\}\)来表示信号，利用标准正交基得到信号的矢量表达式为\(\{\bold{s_{m}},1\le m\le M\}\)。
噪声过程不能以基\(\{\phi_{j}(t)\}_{j=1}^{N}\)全部展开，将噪声过程\(n(t)\)分解为两个分量。一个分量记为\(n_{1}(t)\)，是噪声中以\(\{\phi_{j}(t)\}_{j=1}^{N}\)展开的部分，即噪声在这些基函数构建的空间中的投影；其余部分记为\(n_{2}(t)\)，是噪声中不能以基函数表示的部分。
\[n_{1}(t) = \sum_{j=1}^{N}n_{j}\phi_{j}(t),\quad n_{j}=\langle n(t),\phi_{j}(t) \rangle\tag{2}
\]
\[n_{2}(t)=n(t)-n_{1}(t)\tag{3}
\]
另外
\[s_{m}(t)=\sum_{j=1}^{N}s_{mj}\phi_{j}(t),\quad s_{mj} = \langle s_{m}(t),\phi_{j}(t)\rangle \tag{4}
\]
将(2),(3),(4)式带入(1)式，可以得到
\[\begin{aligned}
r(t) &= \sum_{j=1}^{N}s_{mj}\phi_{j}(t) + \sum_{j=1}^{N}n_{j}\phi_{j}(t)+n_{2}(t)\\
&= \sum_{j=1}^{N}(s_{mj}+n_{j})\phi_{j}(t)+n_{2}(t)
\end{aligned}\tag{5}\]
定义
\[r_{j}=s_{mj}+n_{j}\tag{6}
\]
那么
\[r_{j}=\langle s_{m}(t),\phi_{j}(t)\rangle + \langle n(t),\phi_{j}(t)\rangle = \langle s_{m}(t)+n(t),\phi_{j}(t)\rangle = \langle r(t),\phi_{j}(t) \rangle\tag{7}
\]
结合式(5),(6),(7)可以得到
\[r(t)=\sum_{j=1}^{N}r_{j}\phi_{j}(t)+n_{2}(t),\quad r_{j}=\langle r(t),\phi_{j}(t)\rangle\tag{8}
\]
由\(n_{j}\)的定义式
\[n_{j}=\int_{-\infty}^{\infty}n(t)\phi_{j}(t)dt
\]
可知，\(n_{j}(t)\)是高斯随机过程\(n(t)\)的线性组合，因此也是高斯的。其均值为
\[E[n_{j}]=E\left[\int_{-\infty}^{\infty}n(t)\phi_{j}(t)dt\right]=\int_{-\infty}^{\infty}E[n(t)]\phi_{j}(t)dt = 0
\]
\(n_{j}\)和\(n_{i}\)的协方差为
\[\begin{aligned}
\text{COV}[n_{i}n_{j}] &= E[(n_{i}-E[n_{i}])(n_{j}-E[n_{j}])]=E[(n_{i}-0)(n_{j}-0)]=E[n_{i}n_{j}]\\
&= E\left[\int_{-\infty}^{\infty}n(t)\phi_{i}(t)\int_{-\infty}^{\infty}n(s)\phi_{j}(s)ds\right]\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}E[n(t)n(s)]\phi_{i}(t)\phi_{j}(s)dtds\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{N_{0}}{2}\delta(t-s)\phi_{i}(t)\phi_{j}(s)dtds\\
&=\frac{N_{0}}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-s)\phi_{i}(t)dt\right]\phi_{j}(s)ds\\
&=\frac{N_{0}}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\phi_{i}(s)\phi_{j}(s)ds=\left \{ \begin{aligned} N_{0}/2,\quad i=j\\ 0,\quad i\ne j\end{aligned} \right.
\end{aligned}\tag{9}\]
式(9)表明，对于\(i\ne n\)，\(n_{i}\)和\(n_{j}\)是不相关的，因为他们是高斯的，故也是独立的。这也表明每个\(n_{j}\)的方差均为\(N_{0}/2\)。
再来观察\(n_{2}(t)\)的性质。由于\(n_{2}(t)=n(t)-n_{1}(t)\)是两个联合高斯过程的线性组合，从而也是高斯过程。在任意给定的\(t\)时刻，有
\[\begin{aligned}
\text{COV}[n_{j}n_{2}(t)] &= E[n_{j}n_{2}(t)] = E[n_{j}n(t)]-E[n_{j}n_{1}(t)]\\
&=E\left[n(t)\int_{-\infty}^{\infty}n(s)\phi_{j}(s)ds\right]-E\left[n_{j}\sum_{i=1}^{N}n_{i}\phi_{i}(t)\right]\\
&=\frac{N_{0}}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-s)\phi_{j}(s)ds-\sum_{i=1}^{N}\frac{N_{0}}{2}\delta(j-i)\phi_{i}(t)\\
&=\frac{N_{0}}{2}\phi_{j}(t)-\frac{N_{0}}{2}\phi_{j}(t)=0
\end{aligned}\tag{10}\]
式(10)表明，\(n_{2}(t)\)与所有的\(n_{j}\)都不相关，又因为它们是联合高斯的，\(n_{2}(t)\)与所有\(n_{j}\)独立，因此\(n_{2}(t)\)与\(n_{1}(t)\)独立。
因为\(n_{2}(t)\)独立于\(s_{m}(t)\)和\(n_{1}(t)\)，可以推断\(r(t)\)的两个分量，\(\sum_{j}r_{j}\phi_{j}(t)\)和\(n_{2}(t)\)是独立的。因为第一个分量是携带发送信号的唯一分量，第二个分量独立于第一个分量，第二个分量不能提供有关发送信号的任何信息，因此对检测过程没有影响从而可以忽略，且不损失检测器的最佳性能。\(n_{2}(t)\)是对最佳检测无关的信息。
对于最佳检测器的设计，AWGN波形信道为
\[r(t) = s_{m}(t) + n(t),\quad 1\le m\le M
\]
等效的N维矢量信道为
\[\bold{r=s_{m} + n},\quad 1\le m \le M
\]
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