基带、带通信号的能量

1. 基带信号与带通信号能量的关系

信号\(x(t)\)的能量定义为

\[\mathcal{E}_{x}=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}dt \tag{1.1} \]

由帕斯瓦尔定理可以得到：

\[\mathcal{E}_{x}=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}dt=\int_{-\infty}^{\infty}|X(f)|^{2}df\tag{1.2} \]

因为\(X_{+}(f)\)与\(X_{-}(f)\)之间不重叠，\(X_{+}(f)X_{-}(f)=0\)，因此

\[\begin{aligned} \mathcal{E}_{x} &= \int_{-\infty}^{\infty}|X_{+}(f)+X_{-}(f)|^{2}df\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}|X_{+}(f)|^{2}df+\int_{-\infty}^{\infty}|X_{-}(f)|^{2}df\\ &=2\int_{-\infty}^{\infty}|X_{+}(f)|^{2}df=2\mathcal{E}_{x_{+}} \end{aligned}\tag{1.3}\]

另一方面，

\[\begin{aligned} \mathcal{E}_{x}&=2\int_{-\infty}^{\infty}|X_{+}(f)|^{2}df=2\int_{-\infty}^{\infty}\left\vert \frac{X_{l}(f)}{2}\right\vert^{2}df\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|X_{l}(f)|^{2}df=\frac{1}{2}\mathcal{E}_{x_{l}} \end{aligned} \tag{1.4}\]

因此，等效低通的能量是带通信号能量的2倍。

2. 内积与互相关系数

信号\(x(t)\)和\(y(t)\)的内积定义为

\[\langle x(t), y(t) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)y^{*}(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)Y^{*}(f)df\tag{2.1} \]

显然

\[\mathcal{E}_{x}=\langle x(t), x(t) \rangle \tag{2.2} \]

如果\(x(t)\)和\(y(t)\)是两个带通信号，具有相对同样\(f_{0}\)的等效低通\(x_{l}(t)\)和\(y_{l}(t)\)，那么

\[\begin{aligned} \langle x(t),y(t) \rangle &= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)y^{*}(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)Y^{*}(f)df\\ &=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}[X_{l}(f-f_{0})+X_{l}^{*}(-f-f_{0})][Y_{l}(f-f_{0})+Y_{l}^{*}(-f-f_{0})]^{*}df\\ &=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}X_{l}(f-f_{0})Y_{l}^{*}(f-f_{0})df+\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}X_{l}(f-f_{0})Y_{l}(-f-f_{0})df\\ &\ +\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}X_{l}^{*}(-f-f_{0})Y_{l}^{*}(f-f_{0})df+\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}X_{l}^{*}(-f-f_{0})Y_{l}(-f-f_{0})df\\ &=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}X_{l}(f-f_{0})Y_{l}^{*}(f-f_{0})df+\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}X_{l}^{*}(-f-f_{0})Y_{l}(-f-f_{0})df\\ &=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}X_{l}(f)Y_{l}(f)df + \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}X_{l}^{*}(f)Y_{l}(f)df\\ &=\frac{1}{4}\langle x_{l}(t),y_{l}(t) \rangle + \frac{1}{4}\langle x_{l}(t),y_{l}(t) \rangle^{*}\\ &=\frac{1}{2}\text{Re}[\langle x_{l}(t),y_{l}(t) \rangle] \end{aligned} \tag{2.3}\]

\(x(t),y(t)\)的互相关系数\(\rho_{x,y}\)定义为，

\[\rho_{x,y}=\frac{\langle x(t),y(t) \rangle}{\sqrt{\mathcal{E}_{x}\mathcal{E}_{y}}}\tag{2.4} \]

它表示两个信号之间的归一化内积。

结合\(\mathcal{E}_{x}=\frac{1}{2}\mathcal{E}_{x_{l}}\)以及式(2.3)可以得到：

\[\rho_{x,y}=\frac{\frac{1}{2}\text{Re}[\langle x_{l}(t),y_{l}(t) \rangle]}{\sqrt{\frac{1}{2}\mathcal{E}_{x_{l}}\frac{1}{2}\mathcal{E}_{y_{l}}}}=\text{Re}[\rho_{x_{l}y_{l}}]\tag{2.5} \]

如果两个信号的内积为零（随即它们的互相关系数为零），则它们是正交的。注意，如果\(\rho_{x_{l}y_{l}}=0\)，那么利用式(2.5)得到\(\rho_{xy}=0\)，但是反过来不必定成立。换言之，基带的正交性蕴含带通的正交性，但反之不亦然。