多维信号调制

1.正交信号调制

正交信号定义为一个等能量的信号集\(s_{m}(t)(1\le m \le M)\)，则

\[\langle s_{m}(t),s_{n}(t) \rangle = 0, \quad m\ne n \& 1\le m,n \le M \tag{1.1} \]

由此定义可知

\[\langle s_{m}(t),s_{n}(t) \rangle = \left \{ \begin{aligned} & \mathcal{E}, \quad m=n \\ &0,\quad m\ne n \end{aligned} \right. ,\quad 1\le m,n \le M \tag{1.2}\]

显然，信号是线性独立的，因此\(N=M\)。由

\[\phi_{j}(t)=\frac{s_{j}(t)}{\sqrt{\varepsilon}}, 1\le j \le N \tag{1.3} \]

确定的标准正交集\(\{\phi_{j}(t),1\le i\le N\}\)可作为表示\(\{s_{m}(t),1\le m \le M\}\)的标准正交基。结果信号的矢量表达式为：

\[\begin{aligned} \bold{s}_{1} &= (\sqrt{\mathcal{E}},0,0,\cdots,0) \\ \bold{s}_{2} &= (0,\sqrt{\mathcal{E}},0,\cdots,0) \\ \vdots \\ \bold{s}_{M} &= (0,0,\cdots,0,\sqrt{\mathcal{E}}) \\ \end{aligned} \tag{1.4} \]

可以看出，当\(m\ne n\)时，有

\[d_{mn}=\sqrt{\mathcal{E}+\mathcal{E}}=\sqrt{2\mathcal{E}} \]

因此，在所有的信号传输方式中，

\[d_{\min}=\sqrt{2\mathcal{E}} \tag{1.5} \]

利用关系式

\[\mathcal{E}_{bavg}=\mathcal{E} / \log_{2}{M} \]

最后得到

\[d_{\min}=\sqrt{2\mathcal{E}_{bavg}\log_{2}{M}} \tag{1.6} \]

2. 频移键控(FSK)

2.1 FSK信号定义

作为正交信号的一个特殊情况，考虑频率不同的正交信号波形，它们表示为

\[\begin{aligned} s_{m}(t)&=\text{Re}[e^{j2\pi (m\Delta f)t}e^{j2\pi f_{c}t}],\quad 1\le m \le M, 0\le t \le T \\ &= \text{Re}[e^{j2\pi (f_{c} + \color{red}{m\Delta f} )t}]\\ &= \cos[2\pi (f_{c}+m\Delta f)t] \end{aligned}\tag{2.1}\]

其能量为

\[\begin{aligned} \mathcal{E}_{m} &= \int_{-\infty}^{\infty}s_{m}^{2}(t)dt\\ &=\int_{0}^{\text{T}}\cos^{2}[2\pi(f_{c}+m\Delta f)t]dt\\ &=\int_{0}^{\text{T}}\frac{1}{2}\left[1+\cos\big(4\pi(f_{c}+m\Delta f)\big)\right]dt\\ &=\frac{T}{2} \end{aligned} \tag{2.2} \]

为了使信号能量统一为我们想要的或者说希望设置成的\(\mathcal{E}\)，我们将(2.1)式重新定义为

\[\begin{aligned} s_{m}(t)&=\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}\text{Re}[e^{j2\pi (m\Delta f)t}e^{j2\pi f_{c}t}],\quad 1\le m \le M, 0\le t \le T \\ &= \sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}\text{Re}[e^{j2\pi (f_{c} + \color{red}{m\Delta f} )t}]\\ &= \sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}\cos[2\pi (f_{c}+m\Delta f)t] \end{aligned}\tag{2.3}\]

此时，对(2.3)式进行如(2.2)式所示的积分，可以发现\(\mathcal{E}_{m}=\mathcal{E}\)。另外，观察(2.3)式可以发现\(s_{m}(t)\)的等效低通信号为：

\[s_{ml}(t)=\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j2\pi (m\Delta f)t}, \quad 1\le m \le M, 0\le t \le T \tag{2.4} \]

这种形式的信号传输是将消息通过不同频率来传输的，称为频移键控(FSK)。
注意，FSK与QAM之间的主要区别：

• 在QAM信号传输中，等效低通信号的形式为\(A_{m}g(t)\)，其中\(A_{m}\)是复数。两个不同QAM信号的等效低通\(A_{m}g(t), A_{n}g(t)\)，它们的和\((A_{m}+A_{n})g(t)=A_{m'}g(t)\)仍然满足QAM信号等效低通的一般形式。在这个意义上，两个QAM信号之和是另一个QAM信号。因此，QAM有时称为线性调制方式。

• 另一方面，FSK信号传输方式不满足这种性质，它属于非线性调制方式类型。

2.2 FSK信号的正交展开

由FSK信号的定义可知，FSK信号集\(\{s_{m}(t), m=1,2,\cdots M\}\)是相互正交的，且所有信号能量相等为\(\mathcal{E}\)，那么可以直接得到\(\{s_{m}(t), m=1,2,\cdots M\}\)的标准正交基为：

\[\phi_{m}(t)=\frac{s_{m}(t)}{\sqrt{\mathcal{E}}},m=1,2,3,\cdots,M \tag{2.5} \]

那么\(s_{m}(t), m=1,2\cdots,M\)在标准正交基\(\phi_{n}(t),n=1,2,\cdots,M\)上的投影为：

\[\begin{aligned} \langle s_{m}(t),\phi_{n}(t) \rangle &= \left\langle s_{m}(t),\frac{s_{n}(t)}{\sqrt{\mathcal{E}}} \right\rangle\\ &=\left \{\begin{aligned}&\sqrt{\mathcal{E}},\quad &m=n\\&0,\quad &m\ne n \end{aligned} \right. \end{aligned} \]

由此FSK信号的正交展开式为

\[s_{m}(t) = \sqrt{\mathcal{E}}\phi_{m}(t),\quad m=1,2,\cdots,M\tag{2.6} \]

相应的矢量表达式为：

\[\bold{s_{m}} = [0,\cdots,0,\underbrace{\sqrt{\mathcal{E}}}_{m\text{th position}},0,\cdots,0]\quad m=1,2,\cdots,M \tag{2.7} \]

2.3 FSK信号正交的条件

对所有\(m\ne n\)，正交信号集，必须满足

\[\text{Re}\left[\int_{0}^{T} s_{ml}(t)s_{nl}(t)dt\right]=0 \]

对于FSK的等效低通信号\(s_{ml}(t)\)有：

\[\begin{aligned} \langle s_{ml}(t),s_{nl}(t)\rangle&=\frac{2\mathcal{E}}{T}\int_{0}^{T}e^{j2\pi(m-n)\Delta ft}dt\\ &=\frac{2\mathcal{E}}{T}\frac{1}{j2\pi(m-n)\Delta f}[e^{j2\pi (m-n)\Delta fT}-1]\\ &=\frac{2\mathcal{E}}{T}\frac{1}{j2\pi(m-n)\Delta f}[\cos(2\pi T(m-n)\Delta f)+j\sin(2\pi T(m-n)\Delta f)-1]\\ &=\frac{2\mathcal{E}}{j2\pi T(m-n)\Delta f}[1-2\sin^{2}(\pi T(m-n)\Delta f)+j\sin(2\pi T(m-n)\Delta f)-1]\\ &=\frac{2\mathcal{E}}{j2\pi T(m-n)\Delta f}[-2\sin^{2}(\pi T(m-n)\Delta f)+j2\sin(\pi T(m-n)\Delta f)\cos(\pi T(m-n)\Delta f)]\\ &=\frac{2\mathcal{E}\sin(\pi T(m-n)\Delta f)}{j\pi T(m-n)\Delta f}[-\sin(\pi T(m-n)\Delta f)+j\cos(\pi T(m-n)\Delta f)]\\ &=\frac{2\mathcal{E}\sin(\pi T(m-n)\Delta f)}{-1\pi T(m-n)\Delta f}[-j\sin(\pi T(m-n)\Delta f)-\cos(\pi T(m-n)\Delta f)]\\ &=\frac{2\mathcal{E}\sin(\pi T(m-n)\Delta f)}{\pi T(m-n)\Delta f}[j\sin(\pi T(m-n)\Delta f)+\cos(\pi T(m-n)\Delta f)]\\ &=\frac{2\mathcal{E}\sin(\pi T(m-n)\Delta f)}{\pi T(m-n)\Delta f}e^{j\pi T(m-n)\Delta f}\\ \end{aligned} \tag{2.8} \]

和

\[\begin{aligned}Re[\langle s_{ml}(t),s_{nl}(t) \rangle] &= \frac{2\mathcal{E}\sin(\pi T(m-n)\Delta f)}{\pi T(m-n)\Delta f}\cos(\pi T(m-n)\Delta f)\\ &= \frac{2\mathcal{E}\sin(2\pi T(m-n)\Delta f)}{2\pi T(m-n)\Delta f}\\ &=2\mathcal{E}\text{sinc}(2 T(m-n)\Delta f)\end{aligned}\tag{2.9}\]

由式(2.6)可见，对所有\(m\ne n\)，当且仅当\(\text{sinc}(2T(m-n)\Delta f)=0\)时，\(s_{m}(t),s_{n}(t)\)是正交的。也就是说下式必须成立，

\[\begin{aligned} 2\pi T(m-n)\Delta f &= k\cdot \pi, \quad k=1,2,\cdots\\ 2T(m-n)\Delta f &= k \end{aligned}\]

其中k为整数，\((m-n)\)也为整数，所以\(2T\Delta f\)也必定是整数，可以得到：

\[\Delta f = \frac{k'}{2T}\tag{2.10} \]

由此得到，\(\Delta f=1/2T\)是保证\(\text{Re}[\langle s_{ml}(t),s_{nl}(t) \rangle]=0\)的最小频率间隔，从而保证带通（频率调制）信号的正交性。

3. Hadamard信号

Hadamard信号是由Hadamard矩阵构成的正交信号。Hadamard矩阵\(\bold{H}_{n}\)是\(2^n\times 2^{n}, (n=1,2,\cdots)\)矩阵，它由下列递推关系式定义：

\[\begin{aligned} \bold{H}_{0}&=\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix},\ \cdots\ ,\ \bold{H}_{n+1}=\begin{bmatrix} \bold{H}_{n} & \bold{H}_{n} \\ \bold{H}_{n} & -\bold{H}_{n} \end{bmatrix} \end{aligned} \tag{3.1} \]

由此定义，可得

\[\begin{aligned} \bold{H}_{1}&=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\\ \bold{H}_{2}&=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{aligned} \]

Hadamard矩阵是对称矩阵，其行（或由于对称性，列）是正交的。利用这些矩阵可以生成正交信号。例如，\(\bold{H}_{2}\)产生信号集

\[\begin{aligned} \bold{s}_{1} &= [\sqrt{\mathcal{E}},{\ \ \ }\sqrt{\mathcal{E}},{\ \ \ }\sqrt{\mathcal{E}},{\ \ \ }\sqrt{\mathcal{E}}]\\ \bold{s}_{2} &= [\sqrt{\mathcal{E}},-\sqrt{\mathcal{E}},{\ \ \ }\sqrt{\mathcal{E}}, -\sqrt{\mathcal{E}}]\\ \bold{s}_{3} &= [\sqrt{\mathcal{E}},{\ \ \ }\sqrt{\mathcal{E}}, -\sqrt{\mathcal{E}}, -\sqrt{\mathcal{E}}]\\ \bold{s}_{4} &= [\sqrt{\mathcal{E}},-\sqrt{\mathcal{E}},-\sqrt{\mathcal{E}}, {\ \ \ }\sqrt{\mathcal{E}}]\\ \end{aligned} \]

利用该信号集调制任何4维标准正交基\(\{\phi_{j}(t)\}_{j=1}^{4}\)生成信号

\[s_{m}(t)=\sum_{j=1}^{4}s_{mj}\phi_{j}(t),\quad 1\le m \le 4 \]

注意，每个信号的能量是4\(\mathcal{E}\)，每个信号携带2比特信息，因此\(\mathcal{E}_{bavg}=2\mathcal{E}\)。

4. 双正交(Biorthogonal)信号

4.1 双正交信号定义

一组M个信号集可以由M/2个正交信号与其负的正交信号来构架，因此要求用\(N=M/2\)维来构架一个M双正交信号集。下图说明了\(M=4\)和\(M=6\)的双正交信号。

4.2 双正交FSK信号

由双正交信号的定义可知每一个正向信号都会对应一个反向信号，再结合FSK信号的定义式：

\[\begin{aligned} s_{m}(t) &= \sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}\text{Re}[e^{j2\pi(m\Delta f)t}e^{j2\pi f_{c}t}]\\ s_{ml}(t)&= \sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j2\pi(m\Delta f)t}, \quad m=1,2,\cdots,M \end{aligned}\]

可知双正交FSK信号的表达式为：

\[\begin{aligned} s_{m}^{(b)}(t) &= \text{sgn}(m)\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}\text{Re}[e^{j2\pi(|m|\Delta f)t}e^{j2\pi f_{c}t}]\\ s_{ml}^{(b)}(t)&= \text{sgn}(m)\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j2\pi(|m|\Delta f)t}, \quad m=\pm1,\pm2,\cdots,\pm (M/2) \end{aligned}\tag{4.1}\]

即在FSK的基础上添加幅度的正负值，所以可以认为这是FSK-2PAM联合调制。

双正交FSK信号的能量

\[\mathcal{E}_{s_{m}}=\int_{0}^{T}|s_{m}(t)|^{2}dt=\mathcal{E}\tag{4.2} \]

双正交只是添加了幅度的正负值，所以信号能量是不变的。因此双正交FSK信号与FSK信后一样都是等能量信号。

双正交FSK信号的相关系数
由于

\[\begin{aligned} \langle s_{ml}^{(b)}(t),s_{nl}^{(b)}(t) \rangle &=\int_{0}^{T}\left(\text{sgn}(m)\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j2\pi(|m|\Delta f)t}\right)\left(\text{sgn}(n)\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j2\pi(|n|\Delta f)t}\right)^{*}dt\\ &=\left\{\begin{aligned}& 2\mathcal{E},\quad &m = n\\-&2\mathcal{E},\quad &m=-n\\&0,\quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right. \end{aligned} \tag{4.3} \]

所以：

\[\langle s_{m}^{(b)}(t),s_{n}^{(b)}(t) \rangle = \frac{1}{2}\text{Re}[\langle s_{ml}^{(b)}(t),s_{nl}^{(b)}(t) \rangle]=\left\{\begin{aligned}& \mathcal{E},\quad &m = n\\-&\mathcal{E},\quad &m=-n\\&0,\quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right.\tag{4.4} \]

进而有：

\[\rho_{s_{m}^{(b)}s_{n}^{(b)}}=\frac{\langle s_{m}^{(b)}(t),s_{n}^{(b)}(t) \rangle}{\sqrt{\mathcal{E}_{s_{m}^{(b)}}\mathcal{E}_{s_{n}^{(b)}}}}=\frac{\langle s_{m}^{(b)}(t),s_{n}^{(b)}(t) \rangle}{\sqrt{\mathcal{E}\times\mathcal{E}}}=\left\{\begin{aligned}&1,\quad &m = n\\-&1,\quad &m=-n\\&0,\quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right.\tag{4.5} \]

双正交FSK信号的矢量表达式
容易求得

\[\begin{aligned} \bold{s_{-1}^{(b)}}&=[-\sqrt{\mathcal{E}},\ \ \ \ 0\ \ \ ,\ \cdots\ ,\ \ \ \ 0\ \ \ ]\\ \bold{s_{-2}^{(b)}}&=[\ \ \ \ 0\ \ \ ,-\sqrt{\mathcal{E}},\ \cdots\ ,\ \ \ \ 0\ \ \ ]\\ &\vdots\\ \bold{s_{-\frac{M}{2}}^{(b)}}&=[\ \ \ \ 0\ \ \ ,\ \ \ \ 0\ \ \ ,\ \cdots\ ,-\sqrt{\mathcal{E}}]\\ \bold{s_{1}^{(b)}}&=[\ \ \sqrt{\mathcal{E}}\ \ ,\ \ \ 0\ \ \ ,\ \cdots\ ,\ \ \ \ \ 0\ \ ]\\ \bold{s_{2}^{(b)}}&=[\ \ \ \ 0\ \ \ \ ,\ \sqrt{\mathcal{E}}\ \ ,\ \cdots\ ,\ \ \ \ 0\ \ ]\\ &\vdots\\ \bold{s_{\frac{M}{2}}^{(b)}}&=[\ \ \ \ 0\ \ \ \ ,\ \ \ 0\ \ \ ,\ \cdots\ ,\ \ \ \sqrt{\mathcal{E}}]\\ \end{aligned} \tag{4.6} \]

可以得到：

\[\Vert \bold{s_{m}-s_{n}} \Vert = \left\{\begin{aligned}&\sqrt{2\mathcal{E}},\quad &m \ne n\\-&2\sqrt{\mathcal{E}},\quad &m=-n \end{aligned} \right.\tag{4.7} \]