2025 北京高考真题 详解版

注意事项

基础知识可能询问 DeepSeek ，但是不会询问别的内容，不会用写代码的方式辅助解题。（经典压轴题之 ABC 原题）

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错误情况

T1 AC

T2 AC

T3 AC

T4 AC

T5 AC

T6 AC

T7 AC

T8 WA -4

T9 AC

T10 WA -4

T11 AC

T12 AC

T13 AC

T14 WA -5

T15 AC

T16

T1

\(M=(3,+\infty)\)

\(M\cap N=\varnothing\)

此题应该选择 D 选项。

T2

令 \(z=a\operatorname{i}+b\) ，则原式等于：

\((a\operatorname{i}+b)\operatorname{i}+2=2\operatorname{i}\)

\(b\operatorname{i}+2-a=2\operatorname{i}\)

则 \(a=b=2\) ，\(z\) 的模长等于 \(2\sqrt{2}\) ，此题应该选择 B 选项。

T3

考虑双曲线的一般形式 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

其中离心率 \(e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{|a|}\) ，此题 \(a=1,b=\frac{1}{2},c=\frac{\sqrt{5}}{2}\) ，那么 \(e=\frac{\sqrt{5}}{2}\) ，此题应该选择 B 选项。

T4

考虑 \(3^x=9^\frac{x}{2}\) ，即 \((x,y)\) 这个点变为 \((\frac{x}{2},y)\) 即可，那么该题应该选择 A 选项。

T5

令 \(a_i=(i-1)d-2\) ，则 \(a_3a_6=a_4^2\) 。

\(a_3=2d-2,a_4=3d-2,a_6=5d-2\) ，则：

\((2d-2)(5d-2)=(3d-2)^2\)

\(10d^2-14d+4=9d^2-12d+4\)

\(d^2-2d=0\)

\(d(d-2)=0\)

\(d=0\) 或 \(d=2\) ，又 \(a\) 的公差不为 \(0\) ，舍去 \(d=0\) 。

\(d=2\) 时 ，\(a_3=2,a_4=4,a_6=8\) ，满足题意，因此 \(a_10=9d-2=16\) ，该题应该选择 C 选项。

T6

\(a>0,b>0\) 时，有 \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\) 且 \(\sqrt{ab}>0\) ，即 \(a+b\ge 2\sqrt{ab}>\sqrt{ab}\) ，因此此题应该选择 C 选项。

T7

假设第一个命题为 \(p\) ，第二个命题为 \(q\) ，则 \(p\) 能推出 \(q\) ，而 \(q\) 不能推出 \(p\) （因为可以假设 \(f(x)\) 均 \(\ge 0\) ） 。

因此此题应该选择 A 选项。

T8

考虑什么时候 \(\cos(x)+\sin(x)=0\) ，考虑画一个以原点为圆心，半径为 \(1\) 的圆 \(\bigodot O\) 。

考虑一个点 \((x,y)\) 对应的角是否符合条件，根据正弦线和余弦线的知识可得 \(x+y=0\) ，让这条直线和 \(\bigodot O\) 相交，确定交点的位置和其对应的角度。

可知 \(\theta=\frac{3\pi}{4}+k\pi\) 时 \(\cos(\theta)+\sin(\theta)=0\) 。

结合题意可知 \(\omega\in[3,+\infty)\) 。

又函数 \(f(x)=\sin(\omega x)+\cos(\omega x)\) 的最小正周期为 \(\frac{\pi}{\omega}\) ，令 \(\omega=\frac{p}{q}(\gcd(p,q)=1,p,q\in N^+)\) 。

则 \(p\ge 1,q=1\) ，容易知道 \(p=3,q=1,\omega=3\) 时最优，那么本题应该选择 D 选项。

T9

显然 \(k=2\) ，那么此题应该选择 B 选项。

T10

令 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) ，则 \(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\) ，那么我们有：

\(x_1^2+y_1^2=2\)

\(x_2^2+y_2^2=2\)

\(x_2x_1+y_2y_1=0\)

\(y_2=\frac{-x_2x_1}{y_1}\)

令 \(y_1=p\sqrt{4-x_1^2}\) ，其中 \(p=\pm 1\) ，\(y_2=q\sqrt{4-x_2^2}\) ，其中 \(q=\pm 1\) 。

则 \(x_1x_2+pq\sqrt{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}=0\) ，我们分两种情况讨论：

• 情况一：\(pq=-1\) ，则 \(x_1^2x_2^2=(4-x_1^2)(4-x_2^2)=16+x_1^2x_2^2-4(x_1^2+x_2^2)\) ，即 \(x_1^2+x_2^2=4\) 。

• 情况二：\(pq=1\) ，则 \(x_1^2x_2^2=(4-x_1^2)(4-x_2^2)=16+x_1^2x_2^2-4(x_1^2+x_2^2)\) ，即 \(x_1^2+x_2^2=4\) 。

注意到 \(pq\) 的符号恰好和 \(x_1x_2\) 的符号正相反，满足该条件的 \((x_1,x_2,y_1,y_2)\) 均成立。

\(2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=(x_1-3,y_1-4)+(x_2-3,y_2-4)=(x_1+x_2-6,y_1+y_2-8)\) .

考虑钦定 \(x_1\ge x_2\) ，这不会影响最终答案。

• 情况一：\(x_1\ge 0,x_2\ge 0\) ，即 \(x_2=\sqrt{4-x_1^2}\) ，这种情况下显然有 \(\sqrt{2}\le x_1\le 2\) ，这种情况下的 \(\min^2=(x_1+\sqrt{4-x_1^2}-6)^2+(x_1-\sqrt{4-x_1^2}-8)^2\) ，\(\max^2=(x_1+\sqrt{4-x_1^2}-6)^2+(\sqrt{4-x_1^2}-x_1-8)^2\)

考虑如何求解其最小最大值，先对其进行化简，令 \(x_2=\sqrt{4-x_1^2}\) ，则 \(x_1^2+x_2^2=4\) 。

\((x_1+x_2-6)^2+(x_1-x_2-8)^2=x_1^2+x_2^2+36+x_1^2+x_2^2+64+4x_2-28x_1=108+4\sqrt{4-x_1^2}-28x_1\) 。

根据函数的单调性可知，\(x_1=2\) 时最优，那么原式 \(=52\) ，因此该题可排除 CD 选项。

\((x_1+x_2-6)^2+(x_2-x_1-8)^2=x_1^2+x_2^2+36+x_1^2+x_2^2+64+4x_1-28x_2=108-28\sqrt{4-x_1^2}+4x_1\) 。

这个式子也是 \(x_1=2\) 时最优，那么原式 \(=116\) ，不能排除任何选项。

• 情况二：\(x_1\ge 0,x_2\le 0\) ，即 \(x_2=-\sqrt{4-x_1^2}\) ，这种情况下的 \(\min^2=(x_1-\sqrt{4-x_1^2}-6)^2+(\sqrt{4-x_1^2}+x_1-8)^2\) ， \(\max^2=(x_1-\sqrt{4-x_1^2}-6)^2+(\sqrt{4-x_1^2}+x_1+8)^2\) 。

考虑如何求解其最小最大值，先对其进行化简，令 \(x_2=\sqrt{4-x_1^2}\) ，则 \(x_1^2+x_2^2=4\)

则 \(\min^2=(x_1-x_2-6)^2+(x_1+x_2-8)^2=2(x_1^2+x_2^2)+100-4x_2-28x_1=108-4x_2-28x_1\) 。

\(\max^2=(x_1-x_2-6)^2+(x_1+x_2+8)^2=2(x_1^2+x_2^2)+100-4x_2-28x_1=108+4x_1+28x_2\) 。

这个 \(4x_1+28x_2\) 的最大值显然是 \(56\) ，那么该题排除 B 选项，因此该题应该选择 A 选项。

T11

显然 \(p=6\) 。

T12

\(a_i=C_{4}^i\) ，则 \(a_0=1\) ，\(a_1+a_2+a_3+a_4=15\) 。

T13

根据诱导公式 \(\cos(a)=-\cos(\pi-a)\) ， \(\sin(a)=\sin(\pi-a)\) 可以构造 \(\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}\) 。

T14

不会。

T15

此题应该选择 BC 选项。

考虑 \(\cos(0)=1\) ，则 \(f(0)-f(0)=1\) ，不合题意，因此 D 选项错误。

然后 A 选项显然错误。

T16

\(\sin^2 A+\cos^2 A=1\)

\(\sin^2 A=\frac{8}{9}\)

\(\sin A=\frac{2}{3}\sqrt{2}\) 。

\(a\sin C=c\sin A\)

\(c=6\) 。

第二问：

我选择 A 条件。

\(BH=2,AH=HC=4\sqrt{2}\)

答：\(\frac{14}{3}\) 。

T17

不会。

T18