【掌门】2021年高中数学高一寒假专题试卷-函数的性质

\(\operatorname{Maxperf}=*\color{blue}{1623}\)

\(\operatorname{Perf}=*\color{cyan}{1213}\)

A

\(*\color{green}{1048}\)

我们考虑设一个函数 \(g(x)\) ，满足对于任意的 \((x,y)(x\neq y)\) ，均满足 \([g(x)<g(y)]=[f(x)<f(y)]\) 。

先根据第二个条件推一些条件：

\(x_1<x_2,f(x_1)>f(x_2)\) ，即 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x\in [2,+\infty)\) 处单调递减。

又 \(f(x)\) 关于直线 \(x=2\) 对称，那么可以令 \(g(x)=-|x-2|\) 。

那么 A 选项错误，B 选项正确。

\(g(\frac{5}{4})=-\frac{3}{4}\)

\(g(-a^2+a+1)=-|a^2-a+1|=-|(a-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|=-\frac{3}{4}-(a-\frac{1}{2})^2\) ，显然对于所有的 \(a\) ，均满足 \(g(-a^2+a+1)\le g(\frac{5}{4})\) 。C 选项正确。

\(g(3)=-1,g(m)=-|m-2|\) ，\(g(m)<-1\) ， \(|m-2|>1\) ，即 \(m\in (-\infty,1]\cup[3,+\infty)\) ，D 选项错误。

因此该题选择 BC 选项。

B

\(*\color{green}{808}\)

\(0\le a<b\) 时，有 \(f(a)>f(b)\) ，即 \(f\) 在 \([0,+\infty)\) 处单调递减。

我们考虑设一个函数 \(g(x)\) ，满足对于任意的 \((x,y)(x\neq y)\) ，均满足 \([g(x)<g(y)]=[f(x)<f(y)]\) 。

原题目的条件 \(f(x-2)+3<0\) 可以改为 \(f(x-2)<f(-1)\) ，那么可以令 \(g(x)=-|x|\) 。

那么有 \(-|x-2|<-1\) ，即 \(|x-2|>1\) ，即 \(x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)\) 。

C

\(*\color{green}{844}\)

我们考虑设一个函数 \(g(x)\) ，满足对于任意的 \((x,y)(x\neq y)\) ，均满足 \([g(x)<g(y)]=[f(x)<f(y)]\) 。

那么可以令 \(g(x)=|x+a|\) ，那么显然此题选择 A 选项。

D

\(*\color{green}{960}\)

\(f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\frac{\frac{1}{2^x}-1}{\frac{1}{2^x}+1}=\frac{1-2^x}{1+2^x}=-f(x)\) ，A 选项正确，B 选项错误。

\(f(x)=1-\frac{2}{2^x+1}\) ，\(2^x\in (0,+\infty)\) ，即 \(f(x)\in (-1,1)\) ，C 选项正确。

D 选项条件：如果 \(x_1<x_2\) ，则 \(f(x_1)>f(x_2)\) ，即要求 \(f\) 在 \(R\) 上单调递减。

\(2^x+1\) 单调递增，\(-\frac{2}{2^x+1}\) 单调递增，\(f(x)\) 单调递增，因此 D 选项错误。

选择 AC 选项。

E

\(*\color{green}{838}\)

我们考虑设一个函数 \(g(x)\) ，满足对于任意的 \((x,y)(x\neq y)\) ，均满足 \([g(x)<g(y)]=[f(x)<f(y)]\) ，则可以令 \(g(x)=x\) 。

则：

\(x>0,2x-3>0,x>2x-3\)

\(x>\frac{3}{2},x<3\)

\(x\in(\frac{3}{2},3)\) ，该题应选择 D 选项。

F

\(*\color{green}{1058}\)

根据题目条件， \(x_1<x_2,f(x_1)<f(x_2)\) ，那么 \(f\) 在 \((-\infty,0)\) 上单调递增。

我们考虑设一个函数 \(g(x)\) ，满足对于任意的 \((x,y)(x\neq y)\) ，均满足 \([g(x)<g(y)]=[f(x)<f(y)]\) ，则可以令 \(g(x)=-|x|\) 。

令 \(a'=g(\ln \pi),b'=g(e^{-\frac{1}{2}}),c'=g(\log_2\frac{1}{6})\)

\(a'=-|\ln \pi|\in (-2,-1)\)

\(b'=-|e^{-\frac{1}{2}}|\in (-1,0)\)

\(c'=-|log_2^{\frac{1}{6}}|\in (-3,-2)\)

那么显然有 \(b'>a'>c'\) ，即 \(b>a>c\) ，那么此题应该选择 A 选项。

G

\(*\color{green}{999}\)

\(f(2018)=f(2018-6\times 336)=f(2)=-f(-2)\)

\(f(-2)=(-2)-\sin(\pi)=-2\)

\(f(2018)=-f(-2)=2\) ，此题应该选择 B 选项。

H

\(*\color{green}{977}\)

A 选项显然错误，B 选项显然正确，C 选项显然正确。

奇函数的定义是 \(\forall x\in [S_{定义域}]\) ，均有 \(f(-x)+f(x)=0\) 。

则 \(2f(0)=0\) ， \(f(0)=0\) ，D 选项正确。

因此此题应选择 BCD 选项。

I

\(*\color{brown}{695}\)

\(f(1)=-f(-1)=-\frac{1}{2}\)

那么 \(f\) 在 \(R\) 上单调递减。

我们考虑设一个函数 \(g(x)\) ，满足对于任意的 \((x,y)(x\neq y)\) ，均满足 \([g(x)<g(y)]=[f(x)<f(y)]\) ，则可以令 \(g(x)=-x\) 。

\(g(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\)

\(g(2)=-2\)

那么有 \(g(-\frac{1}{2})>g(2)\) ，此题应选择 B 选项。

J

\(*\color{brown}{744}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{-x}=0\) ，A 选项是奇函数。

\(-x^3+[-(-x)^3]=0\) ，B 选项也是奇函数。

\(x^2+(-x)^2=2x^2\) ，C 选项不是奇函数。

\(|x+2|+|(-x)+2|\ge 2\) ， D 选项不是奇函数。

A 选项不是减函数，因此此题应选择 B 选项。

K

\(*\color{green}{866}\)

\(f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=2g(x)\) ， A 选项错误。

\(|f(x)|\times g(x)=|f(x)|\times g(x)\) ， \(|f(-x)|\times g(-x)=|f(x)|\times g(x)\) ， B 选项正确。

\(f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)\) ，C 选项错误。

\(f(|x|)=f(|-x|),g(x)=g(-x)\) ，因此 D 选项正确。

因此此题应选择 BD 选项。

L

\(*\color{green}{954}\)

\(x>0\) 和 \(f(x-1)>0\) 这两个条件要么全满足，要么全不满足，如果 \(x\) 和 \(f(x-1)\) 存在一个 \(=0\) ，那么可以绕过这两个条件，视为 \(xf(x-1)\ge 0\) 。

根据图像可知 \(f(x-1)>0\) 等价于 \(x\in(-\infty,-1)\cup[1,3)\) 。

函数 \(h(x)=f(x-1)\) 的零点是 \(\{-1,3\}\) 这个集合。

那么本题的答案为 \(x\in[-1,0]\cup[1,3]\) ，选择 D 选项。