2020年初中数学【实数】专题暑期集训

\(\operatorname{Maxperf}=*\color{green}{1111}\)

\(\operatorname{Perf}=*\color{brown}{652}\)

系数： 0.8

A

\(*\color{brown}{580}\)

\(\sqrt{144}=12\) ，是有理数。

\(2\sqrt{2}\) 不能表示为 \(\frac{p}{q}\) 的形式，具体可以这样证明：

显然我们只需要证明 \(\sqrt{2}\) 是无理数即可。

若存在 \(p,q\in Z,\gcd(p,q)=1\) 的 \(\frac{p}{q}\) 满足 \(\frac{p}{q}=\sqrt{2}\) ，则：

\(\frac{p^2}{q^2}=2\) ，即 \(p^2=2q^2\) ，而 \(x^2\bmod 4\in \{0,1\}\) ，则 \(2q^2\bmod 4\in \{0,2\}\) 。

显然只有 \(2|p,2|q\) 时原式才有可能成立，与 \(\gcd(p,q)=1\) 矛盾，因此不行。

我们接下来考虑一个结论：

• Observation 1 :所有的 \(n^\frac{1}{n}(n>0,n\in Z)\) 都是无理数。( \(n=1\) 除外)

考虑证明，考虑反证，如果它是有理数 \(\frac{p}{q}(p,q>0,p\in Z,q\in Z,\gcd(p,q)=1)\) ，则 \(p^n=nq^n\) 。

定义 \(v_p(x)\) 为素数 \(p\) 在 \(x\) 的质因数分解中出现的次数，则：

\(v_{prime}(n)+n\times v_{prime}(q)=n\times v_{prime}(p)\) 。

则必须满足对于所有的 \(prime|n\) ，均有 \(n|v_{prime}(n)\) ，而由于 \(prime\ge 2\) ，那么相当于要求 \(\lfloor\log_2(n)\rfloor\ge n\) ，这显然在 \(n\ge 2\) 时是不现实的，因此证明成立。

然后这道题显然就选择 C 选项了，注意循环小数的本质是分数。

B

\(*\color{gray}{180}\)

\(a=2,b=\sqrt{5}-2\) ，则：

\(b+2=\sqrt{5},a(b+2)=2\sqrt{5}\) 。

显然选 B 。

C

\(*\color{brown}{746}\)

\(\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{4}{9}\)

\(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\)

它的倒数是 \(\frac{3}{2}\) 。

那么选择 B 选项。

D

\(*\color{gray}{379}\)

\(\pm\sqrt{1}=\pm 1\) ， A 选项正确。

\(8^\frac{1}{3}=2\) ，B 选项正确。

\(\sqrt{2}\in\{\sqrt{2},-\sqrt{2}\}\) ，C 选项正确。

\(-3\not\in \{\sqrt{3},-\sqrt{3}\}\) ，D 选项错误。

因此选择 D 选项。

E

\(*\color{brown}{443}\)

(1).反例： \(\sqrt{4}=2\) ，不是无理数。

(2).反例： \(\pi\) ，不是有理数。

(3).反例: \((-8)^\frac{1}{3}=-2\) ，该说法错误

(4).\(-\sqrt{17}\in\{\sqrt{17},-\sqrt{17}\}\) 该说法正确。

因此该题选 B 选项。

F

\(*\color{gray}{145}\)

• Observation 1 : \(\sqrt{x^2}=|x|\)

A 选项 \(\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2\) ，错误。

B 选项 \(\pm \sqrt{9}=\pm 3\) ，错误。

C 选项 \(\sqrt{16}=4\) ，错误。

D 选项 \(\sqrt{2^2}=|2|=2\) ，正确。

因此这题应该选 D 。

G

\(*\color{gray}{228}\)

(1)\(S_{10的平方根}=\{\sqrt{10},-\sqrt{10}\}\) ，该说法正确。

(2)\(S_{4的平方根}=\pm 2\) ，该说法正确。

(3).\(S_{\frac{4}{9}的平方根}=\pm\frac{2}{3}\) ，该说法错误。

(4).\(\sqrt{0.01}=0.1\) ，该说法正确。

(5).\(\sqrt{x}\) 只能对应一个数，该说法错误。

因此选择 C 选项。

H

\(*\color{gray}{154}\)

显然选择 C 选项。

I

\(*\color{brown}{611}\)

\((-27)^\frac{1}{3}=-3\)

\(\sqrt{\sqrt{81}}=\pm 3\) ，则：

\(-3-3=-6,-3+3=0\) 。

此题应该选择 C 选项。

J

\(*\color{gray}{135}\)

\(3<a<3.5\) ，显然应该选择 C 选项。