【掌门】2021年高中数学高一寒假专题试卷-不等式

\(\operatorname{Maxperf}=*\color{cyan}{1570}\)

\(\operatorname{Perf}=*\color{green}{964}\)

A

\(*\color{green}{890}\)

先把原不等式因式分解为 \((x-2)(x-2m)\le 0\)

得到 \(\min(2,2m)\le x\le \max(2,2m)\)

当 \(m\ge 1\) 时：

\(5\le 2m<6\)

即 \(\frac{5}{2}\le m<3\) 。

B

\(*\color{green}{810}\)

\((x-1)y=x+1\)

\(y\gets 1+\frac{2}{x-1}\)

令 \(m=x-1\) ，则 \(m\) 可以取到 \(>0\) 的所有实数。

\(t=2+\frac{2}{m}+m\ge 2+\sqrt{\frac{2}{m}\times m}=2+2\sqrt{2}\) 。

显然选 A 。

C

\(*\color{green}{877}\)

显然 \(a>0\) 。

代入 \(x=1\) 得 \(a+b+c<0\) 。

因此 A 正确， C 错误。

考虑 \(ax^2+bx+c=0\) 这个方程的解，为 \(x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{\triangle}}{2a}\) ，其中 \(\triangle=b^2-4ac\) 。

解方程：

\(\sqrt{b^2-4ac}=6a+b=4a-b\)

\(6a+b=4a-b\)

\(b=-a\)

则：

\(b<0\)

\(\sqrt{a^2-4ac}=5a\)

\(a^2-4ac=25a^2\)

\(c=-6a\)

不等式 \(bx+c>0\) 的解集是 \(x<-\frac{c}{b}\) ，即解集为 \(x\in (-\infty,-6)\)

因此 B 选项正确。

现在我们已知 \(b=-a,c=-6a\) ，则 \(cx^2-bx+a<0\) 等价于 \(-6ax^2+ax+a<0\) ，即 \(a(6x^2-x-1)>0\) ，因为 \(a>0\) ，那么该不等式等价于 \(6x^2-x-1>0\) 。

解出 \(6x^2-x-1=0\) 的两根 \(x_{1/2}\) ，那么不等式的解集就是 \((-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)\) 。

显然 \(x_1\gets -\frac{1}{3},x_2\gets\frac{1}{2}\) 。

那么此题选择 ABD 。

D

\(*\color{green}{888}\)

令 \(A\gets x+3y,B\gets x-y\) ，则 \(A>B\) ，且 \(A+B=4\) 。

由权方和不等式，得：

\(\frac{(\sqrt{2})^2}{A}+\frac{1^2}{4-A}\ge \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{A+4-A}=\frac{3+2\sqrt{2}}{4}\) ，取等条件为 \(\frac{\sqrt{2}}{A}=\frac{1}{4-A}\) 。

解方程：

\(\sqrt{2}(4-A)=A\)

\((\sqrt{2}+1)A=4\sqrt{2}\)

\(A=4\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}+1}\)

\(A=4\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\)

\(A=8-4\sqrt{2}\) ， \(B=4\sqrt{2}-4\) ，\(A-B=12-8\sqrt{2}>0\) 。

\(4y=12-8\sqrt{2}\)

\(y=3-2\sqrt{2}\) ，\(x=2\sqrt{2}-1\) ，\(x-y=4\sqrt{2}-4>0\) 。

那么此题的最小值为 \(\frac{3+2\sqrt{2}}{4}\) ，在 \(x\gets 2\sqrt{2}-1,y\gets 3-2\sqrt{2}\) 处取等。

选择 B 选项。

E

\(*\color{brown}{735}\)

\(\frac{y}{xy}+\frac{4x}{xy}=\frac{xy}{xy}\) ，则：

\(y+4x=xy\)

\((x-1)y=4x\)

\(y=4+\frac{4}{x-1}=\frac{4x}{x-1}\) ，仅在 \(x>1\) 时 \(y>0\) 。

那么现在我们需要求 \(\min\limits_{x>1}(\frac{1}{x-1}+1+x)\) ，令 \(t\gets x-1\) ，则：

\(t+2+\frac{1}{t}\ge 2+2\sqrt{\frac{1}{t}\times t}=4\) ，也就意味着当 \(m^2+3m>4\) 时原不等式有解，则：

\(m^2+3m-4>0\) ，\((m+4)(m-1)>0\) ，则 \(m\in(-\infty,-4)\cup(1,+\infty)\) 。

那么该题应该选择 C 选项。

F

\(*\color{green}{973}\)

考虑什么时候原不等式的解集是个闭区间，显然是在 \(k>0\) 时，令 \(ax^2+bx+c=kx^2-x+1\) ，则：

\(a=k,b=-1,c=1,\triangle=b^2-4ac=1-4k\)

\(x_{1/2}=\frac{1\pm\sqrt{\triangle}}{2k}\) ，那么原不等式的解集就是 \((x_1,x_2)\) 。

原不等式有解当且仅当 \(1-4k>0\) ，即 \(0<k<\frac{1}{4}\) 。

\(x_1=\frac{1-\sqrt{1-4k}}{2k},x_2=\frac{1+\sqrt{1-4k}}{2k}\) ，则：

\(a=x_1,b=x_2,2a+b=\frac{3-\sqrt{1-4k}}{2k}\) 。

令 \(b=\sqrt{1-4k}\) ，则 \(4k=1-b^2,k=\frac{1-b^2}{4}\) ，\(0<b<1\) 。

对 \(2a+b\) 取倒数，得：

\(\frac{1}{2a+b}=\frac{\frac{1-b^2}{2}}{3-b}=\frac{1-b^2}{2(3-b)}\) ，令 \(c=3-b\) ，则 \(2<c<3\) 。

\(b=3-c\) ，\(b^2=c^2-6c+9,1-b^2=6c-c^2-8\) 。

接着推式子：

\(\frac{1}{2a+b}=\frac{6c-c^2-8}{2c}=\frac{3c-\frac{1}{2}c^2-4}{c}=3-\frac{1}{2}c-\frac{4}{c}\le 3-2\sqrt{\frac{1}{2}c\times \frac{4}{c}}=3-2\sqrt{2}\) ，这是 \(2a+b\) 的倒数的最大值，等号在 \(c=2\sqrt{2}\) 时取到，可以取等。

因此 \(\min\limits_{(a,b)符合条件}(2a+b)=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=3+2\sqrt{2}\) 。

这道题应选择 C 选项。

G

\(*\color{brown}{607}\)

A 选项，\(a\ge c\) 不成立，因此错误。

B 选项，\(c=-1,a=2,b=1\) 时不成立，因此错误。

C 选项是正确的，因为 \(c^2\ge 0\) 。

D 选项是错误的，因为 \(c\) 可以等于 \(0\) ，此时该式子的值为 \(0\) ，不符合条件。

因此该题应选 C 。

H

\(*\color{brown}{613}\)

显然 \(-3\) 和 \(1\) 是 \(x^2+ax+b=0\) 这个方程的一组解，代入求解 \(a,b\) ：

\(b-3a=-9,a+b=-1\) ，即 \(a=2,b=-3,ab=-6\) ，因此此题应该选择 D 选项。

I

\(*\color{brown}{797}\)

A 选项错误，理由：\(c=0\) 时不等式不成立。

B 选项错误，反例：\(a=2,b=-3\) 。

C 选项错误，反例：\(a=2,b=-3\) 。

D 选项只用到了基础的移项，因此是正确的。

因此该题选 D 选项。

J

\(*\color{green}{1026}\)

显然可以推出 \(b<a<0\) 。

则 \(a+b<0,ab>0\) ，A 选项正确。

令 \(k_1=-a,k_2=-b\) ，则 \(0<k_1<k_2\) 。

因为 \(k_1\neq k_2\) ，那么 \(\frac{k_1}{k_2}\neq\frac{k_2}{k_1}\) 。

这也就意味着 \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{k_1}{k_2}+\frac{k_2}{k_1}\ge 2\sqrt{\frac{k_1}{k_2}\times \frac{k_2}{k_1}}=2\) ，又因为 \(\frac{k_1}{k_2}\neq\frac{k_2}{k_1}\) ，原式不能取等号，所以 B 选项也是正确的。

\(ab=k_1k_2,b^2=k_2^2\) ，因为 \(0<k_1<k_2\) ，那么 \(k_1k_2<k_2^2\) ，即 \(ab<b^2\) ，C 选项错误。

\(a^2=k_1^2,b^2=k_2^2\) ，因为 \(0<k_1<k_2\) ，则 \(k_1^2<k_2^2\) ，即 \(a^2<b^2\) ，D 选项错误。

K

\(*\color{green}{908}\)

\(ab-b=a+1\)

\((a-1)b=a+1\)

\(b=\frac{a+1}{a-1}=1+\frac{2}{a-1}\)

\(a+b=a+1+\frac{2}{a-1},ab=a+\frac{2a}{a-1}=a+2+\frac{2}{a-1}\) ，令 \(t=a-1\) ，则：

\(a+b=t+2+\frac{2}{t}\ge 2\sqrt{\frac{2}{t}\times t}+2=2\sqrt{2}+2\) ，因此 A 选项正确，B 选项错误。

\(ab=t+3+\frac{2}{t}\ge 2\sqrt{\frac{2}{t}\times t}+3=2\sqrt{2}+3\) ，因此 D 选项正确，C 选项错误。

此题应该选 AD 。

L

\(*\color{green}{960}\)

对于 A 选项，我们有结论（选自 DeepSeek 的回答）：

• Observation 1 : \(\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) 的最小值取在 \(x=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{69}}{18})^\frac{1}{3}+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{69}}{18})^\frac{1}{3}\) 处，最小值约等于 \(2.3926>2\) 。

证明：考虑求导，后面不再赘述。

因此 A 选项正确。

B 选项，\(x+\frac{1}{x}-2=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2\ge 0\) ，因为 \(x\ge \sqrt{2}\) 所以原式不能取等，因此 B 选项错误。

C 选项考虑令 \(t\gets 3-2x\) ，则 \(t>0\) ，\(2x=3-t\) ，原式 \(=3-t-\frac{1}{t}\ge 3-2\sqrt{\frac{1}{t}\times t}=1\) ，那么显然该选项是错误的。

D 选项，\(y=\frac{1-x}{2}\) ，则原式 \(=\frac{1^2}{x}+\frac{2^2}{1-x}\ge \frac{(1+2)^2}{x+1-x}=9\) ，该不等式在 \(\frac{1}{x}=\frac{2}{1-x}\) 时取等，则 \(x=\frac{1}{3}\) ，可以取等，D 选项正确。

因此该题应选择 AD 选项。