博弈论

公平组合游戏 \(\text{ICG}\)

若一个游戏满足：

1. 由两名玩家交替行动
2. 在游戏任意时刻，可以执行的合法行动与轮到那名玩家无关
3. 不能行动的玩家判负

此时为公平组合游戏（Impartial Game）

例如围棋不是公平组合游戏

有向图游戏

给定一个有向无环图，图中有唯一起点，在起点放一枚棋子，两名玩家交替移动，每次移动一步，不能移动者判负。此时为有向图游戏。

任意一个公平组合游戏可以转化为有向图游戏。方法是：每个局面看成一个节点，每个局面沿着合法行动到达的下一个局面连一条有向边。

\(\text{mex}\) 运算

\[\text{mex}(S) = \min \{x\} \mid x \in \mathbb{N},x \notin S \]

\(\text{SG}\) 函数

假设从 \(x\) 出发有 \(k\) 条有向边，到达 \(y_1...y_k\)，定义 \(\text{SG}(x)\) 为：

\[\text{SG}(x) = \text{mex}(\{ \text{SG}(y_1), \text{SG}(y_2)... \text{SG}(y_k) \}) \]

\(\text{SG}(x)\) 为 \(0\) 时 \(x\) 局面必败，否则 \(x\) 局面必胜

证明

若下一状态的 \(\text{SG}(y)\) 都不为 \(0\) ，证明另外一个玩家一定必胜，此时 \(\text{SG}(x) = 0\)

否则若有一个局面 \(y_i\) 的 \(\text{SG}(y_i) = 0\)，此时当前玩家可以将局面转移到 \(y_i\)，另外一个玩家一定必败，故\(\text{SG}(x) \ne 0\)

经典样例

翻硬币

作者太菜了，所以这里有一个

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