动态规划

简单聊一聊 \(A\ DP\)

区间 DP

简介

枚举区间长度，然后枚举左端点。

对于转移，可以枚举中间点 \(k\)，由 \([l,k]\) 和 \([k+1,r]\) 转移，或者由 \([l,r-1]\) 和 \([l+1,r]\) 转移。

例题

P 4342 Polygon

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对于此题，只有乘和加，考虑如何得到最大值。

1. \(max\)，\(max\)
2. \(min\)，\(min\)

如果两个最小值为负数，那么乘完之后就有可能会很大，\(max\)、\(min\) 可以考虑，但发现一定不是最优。

因为用到了最小值，提醒我们也需要一起处理出来最小值。

1. \(min\)，\(min\)
2. \(max\)，\(min\)

如果想偷懒，可以所有情况都考虑一遍。

树形 DP

简介

普通的树形 DP，基于 \(dfs\)，由子节点向父节点合并，或 填表法

例题

P 3574 FAR-Farm Craft

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经典树形 DP

斜率优化

解法

\(f_i=\min/\max\{f_j+val(i,j)\}\)

转换为 \(y_j=k_i*X_j+B_i\) 的形式，其中 \(B_i\) 包含求的 \(f_i\)
观察 \(k_i\) 的形式，具有单调性则可能用单调队列维护，其他形式可能为平衡树，CDQ等
\(b_i\) 取最小值在下凸壳，最大值在上凸壳

例题

CF311B Cats Transport

四边形不等式

一维 DP

\(f_i=\min/\max \{f_k+w(k,i) \}\)

定理（决策单调性）

如果 \(w\) 满足四边形不等式，则 \(f\) 满足决策单调性

决策单调性指对于 \(j \le i\)，如果 \(i\) 的最优决策为 \(p\)，那么 \(j\) 的最优决策 \(p' \ge p\)

例题

P1880 石子合并

二维 DP

例题

P4767 邮局

\(DAG\) 上 DP

填表法与刷表法

在 \(DP\) 问题中，当我们费尽千辛万苦憋出来状态转移方程的时候，一般直接就拿去求解了。

但是，与此同时有一个问题，假如状态转移方程是

\[dp_{i,j} = \{ dp_{i-1,j-1},\ dp_{i-1,j},\ dp_{i-1,j-1} \} \]

此时就有两种方法

• 填表法：枚举 dp[i][j] ，由 dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1] 更新
• 刷表法：使用d[i][j]去更新dp[i+1][j]，dp[i+1][j+1]，dp[i][j+1]的值，枚举已知量，并且依据此更新依赖于它的未知量状态，注意此时的未知量可以是之前的（此时需要 \(SPFA\) 松弛），也可以是之后的

通常使用的都是比较直观的填表法，但是当dp[i][j]转移而来的状态不是固定的，那么就需要使用刷表法

简介

\(DAG\) 上 DP 一般是选择拓扑序或 SPFA，简要说明一下两种方法

例题

接下来为了清晰直观的了解 \(DAG\) 上的 DP，引入几道例题

矩形嵌套

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对于这道题，我们先观察两个矩形 \(X\),\(Y\) 如何可以进行嵌套。

根据题意很自然的知道，\(X\) 可以套在 \(Y\) 中的条件

\(X_l<Y_l \ and \ X_h<Y_h\) 或者 \(X_l<Y_h \ and \ X_h<Y_l\)

那么我们便以此来进行建图，满足条件的 \(X\),\(Y\)，建一条 \(Y\) 指向 \(X\) 的有向边。易知，图中绝对无环。进行拓扑排序。

硬币问题

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UVA1371 周期 Period