狄利克雷卷积学习笔记

狄利克雷卷积

定义

\(h(n) = \sum_{i \mid n} f(i)g(\frac{n}{i})\)，则 \(h(n)\) 为 \(f(n),g(n)\) 的狄利克雷卷积，记为 \(h = f*g\)

性质

1. 交换律：\(f*g=g*f\)
2. 结合律：\((f*g)*h=f*(g*h)\)
3. 分配律：\((f+g)*h=f*h+g*h\)
4. 单位元：单位元 \(\varepsilon\) 表示 \([x=1]\)
5. 若 \(f,g\) 为积性函数，则 \(f*g\) 也是莫比乌斯函数
6. 若 \(f,f*g\) 为积性函数，则 \(g\) 也是积性函数

常见卷积

\(f*1 = \sum_{d \mid n} f(d)\)

\(Id_k*1 = \sigma_k\)，\(\sigma_k(n)\) 为 \(n\) 的约数的 \(k\) 次方的和，\(Id_k(n)=n^k\)

\(\varphi*1 = Id\)

\(\mu*1 = \varepsilon\)

\(Id*\mu=\varphi\)

\(\mu*d = 1\)，\(d(n)\) 为 \(n\) 的约数个数

若 \(F=1*f\)，则 \(f=\mu*F\)