群论学习简记

群论

新定义

本文默认只讨论右陪集

\(\times\) 新运算,二元符号

\(\le\) 子群

\(\ast\) 为乘法运算

性质

1. 封闭性

   若 \(a \in G, b \in G\)，则有 \(a \times b \in G\)

2. 结合律

   \(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\)

3. 单位元

   存在单位元 \(e \in G\)，满足 \(a \times e = e \times a = a\)

4. 逆元

   对于任意 \(a \in G\)，存在 \(a' \in G\)，使得 \(a \times a' = e\)

子群

定义

\(H\) 的元素是 \(G\) 的子集，并且 \(H\) 满足群的性质（所以 \(H\) 中有 \(G\) 的单位元），记为 \(H \le G\)

陪集

如果 \(G\) 是一个群，\(H\) 为其一个子群，且有 \(g \in G\)，那么:

\(gH = g \times h,h \in H\)，称其为 \(H\) 在 \(G\) 内的关于 \(g\) 的左陪集。

\(Hg = h \times g,h \in H\)，称其为 \(H\) 在 \(G\) 内的关于 \(g\) 的右陪集。

商集

左商集：\((G/H)_l = \{ aH \mid a \in G\}\)

右商集：\((G/H)_l = \{ Ha \mid a \in G\}\)

性质

1. \(\forall g \in G, \lvert H \rvert = \lvert Hg \rvert\)
2. \(\forall g \in G, g \in Hg\)
3. \(Hg = H \Longleftrightarrow g \in H\)
4. \(Ha = Hb \Longleftrightarrow a \times b^{-1} \in H\)
5. \(Ha \cap Hb \neq \emptyset \to Ha = Hb\)
6. \(H\) 的全体右陪集的并为 \(G\)

常见描述

\(G/H\) 表示 \(G\) 中的所有 \(H\) 左陪集，即 \(\{ gH,g \in G \}\)

\([G : H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的不同的陪集的数量

拉格朗日定理

\(\lvert H \rvert\) 整除 \(\lvert G \rvert\)

换种方式来说 \(\lvert H \rvert * [G : H] = \lvert G \rvert\)

置换

二行表示法

\(\sigma = \lgroup ^{1\ 2\ 3\ 4\ 5} _{2\ 5\ 4\ 3\ 1} \rgroup\)

一般表示为 \(\sigma = (2\ 5\ 4\ 3\ 1)\)

运算（\(\lfloor魔法\rceil\)）

$\sigma \times \alpha $ 有时表示为 \(\sigma(\alpha)\)

\(\sigma(\alpha) = (\alpha_{\sigma_1}, \alpha_{\sigma_2},...\alpha_{\sigma_n})\)

置换群

性质

1. 封闭性

   显然具有

2. 结合律

3. 单位元: \(e = (1,2,...n)\)

   容易发现 \(\sigma(e)=e(\sigma)=\sigma\)

4. 逆元

群作用

分为左群作用和右群作用

对于集合 \(M\) 和群 \(G\)，给定二元函数 \(\varphi(v,k)\)，其中 \(v\) 为群元素，\(k\) 为集合元素。有

\(\varphi(e,k)=k\)

\(\varphi(g,\varphi(s,k))=\varphi(g \times s,k)\)

为群 \(G\) 作用于集合 \(M\)

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轨道-稳定子定理

轨道

考虑一个作用在 \(X\) 上的群 \(G\)，\(G\) 为集合的集合。\(X\) 中的一个元素 \(x\) 的「轨道」则是 \(x\) 通过 \(G\) 中的元素可以转移到的元素的集合。记为 \(G(x)\)

稳定子

定义为 \(G^x = \{ g\mid g \in G,\varphi(g,x)=x \}\)，即不动点数量

公式

\(\vert G^x \rvert * \lvert G(x) \rvert = \lvert G \rvert\)

\(Burnside\) 定理

定义 \(G\) 为一个置换群，其作用于 \(X\)，如果 \(a,y \in X\) 在 \(G\) 作用下可以相等即存在 \(f \in G\)使得 \(\varphi(f, a) = y\) 则定义 \(z, g\) 属于一个等价类，则不同的等价类的数量为:

\(\lvert X/G \rvert = \frac{1}{\lvert G \rvert} \sum_{g \in G} \lvert X^g \rvert\)

即，\(X\) 在群 \(G\) 作用下的等价类总数等于每一个 \(g\) 作用于 \(X\) 的不动点的算数平均值

\(P\acute{o}lya\) 定理

与 \(Burnside\) 定理相同的前置条件下

\(\lvert X/G \rvert = \frac{1}{\lvert G \rvert} \sum_{g \in G} m^{c(g)}\)

\(c(g)\) 为置换 \(g\) 能拆分成多少个环

\(m\) 为可以使用的颜色数量

一般 \(P\acute{o}lya\) 定理用来求不动点的数量