数字系统(数码系统)

　　数字系统(数码系统)定义了如何用独特的符号来表示一个数字。

　　数字系统分为位置化数字系统和非位置化数字系统。

位置化数字系统

　　在位置化数字系统中，数字中符号所占据的位置决定了其表示的值。

位置化数字系统的表示

　　　　±(S_k-1S_k-2…S₃S₂S₁S₀.S_-1S_-2S_-3…S_-L)_b;

位置化数字系统的(十进制)值

　　 N=±S_k-1×b^k-1+S_k-2×b^k-2+…+S₃×b³+S₂×b²+S₁×b¹+S₀×b⁰+S_-1×b^-1+S_-2×b^-2+S_-3×b^-3+…+S_-L×b^-L;

　　其中：

• S是一套符号集。
• b是基数。
• 从小数点开始，b的幕可以从一个方向由0到k-l，还可以从另一个方向由-1到-L;
• 即b的非负数次幕与该数字的整数部分有关，而b的负数次幂与该数字的小数部分有关；
• ±符号表示该数字可正可负。

十进制系统(Decimal)

• 基数b=10;
• 符号集S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
• 整数值表示： N = ±S_k-1×10^k-1+S_k-2×10^k-2+…+S₃×10³+S₂×10²+S₁×10¹+S₀×10^0；
• 实数值表示： N = ±S_k-1×10^k-1+S_k-2×10^k-2+…+S₃×10³+S₂×10²+S₁×10¹+S₀×10⁰+S_-1×10^-1+S_-2×10^-2+S_-3×10^-3+…+S_-L×10^-L;

二进制系统(Binary)

• 基数b=2;
• 符号集S={0,1}；
• 整数值表示： N = ±S_k-1×2^k-1+S_k-2×2^k-2+…+S₃×2³+S₂×2²+S₁×2¹+S₀×2^0；
• 实数值表示： N = ±S_k-1×2^k-1+S_k-2×2^k-2+…+S₃×2³+S₂×2²+S₁×2¹+S₀×2⁰+S_-1×2^-1+S_-2×2^-2+S_-3×2^-3+…+S_-L×2^-L;

二进制的部分权值

权	(值)2	(值)10
20	1	1
21	10	2
22	100	4
23	1000	8
24	10000	16
25	100000	32
26	1000000	64
27	10000000	128
28	100000000	256
29	1000000000	512
210	10000000000	1024

 

 

十六进制系统(Hexadecimal)

 

• 基数b=16;
• 符号集S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}；
• A,B,C,D,E,F分别等于10,11,12,13,14,15；
• 整数值表示： N = ±S_k-1×16^k-1+S_k-2×16^k-2+…+S₃×16³+S₂×16²+S₁×16¹+S₀×16^0；
• 实数值表示：尽管一个实数可以用十六进制系统表示，但并不常见。

 

 八进制系统(Octal)

 

• 基数b=8;
• 符号集S={0,1,2,3,4,5,6,7}；
• 整数值表示： N = ±S_k-1×8^k-1+S_k-2×8^k-2+…+S₃×8³+S₂×8²+S₁×8¹+S₀×8^0；
• 实数值表示：尽管一个实数可以用八进制系统表示，但并不常见。

 

四种进位计数制小结

进位计数制	形式表示	基数	符号集	Example	Or Example
十进制	D	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	(123.12) 10	(123.12)D
二级制	B	2	0,1	(1001.11)2	(1001.11)B
八进制	O	8	0,1,2,3,4,5,6,7	(156.23) 8	(156.23)O
十六进制	H	16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F	(A2C.A1)16	(A2C.A1)H

比较四种进位计数制表示同一数字

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

 数字 15 在十进制中使用2个数码，在二进制中使用4个数码，在八进制中使用2个数码,在十六进制中仅仅使用1个数码；十六进制表示法显然是最短的。即在采用不同的数制表示同一个数时，基数越大，则使用的位数越小。所以在程序的书写中，一般采用八进制或十六进制表示数据。

 进制转换——R进制转换为十进制

　　 将R进制数按权展开求和即可等到相应的十进制数。

　　Example：将这三个数转换为十进制数值。

　　　　　　　　(10110)_B = (1×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰)_D

　　　　　　　　　　　　  = (16+0+4+2+0)_D

　　　　　　　　　　　　  = (22)_D

 

　　　　　　　　(234)_O = (2×8²+3×8¹+4×8⁰)_D

　　　　　　　　　　　 = (128+24+4)_D

　　　　　　　　　　　 = (156)_D

 

　　　　　　　　(234)_H = (2×16²+3×16¹+4×16⁰)_D

　　　　　　　　　　　  = (512+48+4)_D

　　　　　　　　　　　  = (564)_D

 

 进制转换——R进制转换为十进制

　　整数部分：

　　将十进制整数转换为R进制数，采用“除R取余法”，即将十进制整数连续地除以R取余数，直到商为0。将最后一个余数最为R进制数的第一位，将倒是第二个余数作为R进制数的第二位，依次类推得到R进制数的整数部分。

　　小数部分：

　　小数部分的转换采用“乘R取整法”，即将十进制小数部分不断乘以R取整，直到小数部分为0或达到要求的精度(当小数部分永远不会达到0时)。取得的整数的排列次序与取得顺序一致，即首次取得的整数作为R进制数小数部分的第一位，最后一次取得的整数作为R进制数小数部分的最后一位。

 

　　Example1：

　　(225.8125)_D → 二进制数

 

 

　　所以 (225.8125)_D = (11100001.1101)_B

　　Example2：

　　将十进制数225.15转换八进制数。

　　 所以(225.15)_D = (341.114)_O。

 

 进制转换——八进制十六进制之间的转换 

　　计算及内部数据的表示和运算非常适合二进制，但位数过长 。所以在书写程序和数据时，经常采用八进制或十六进制，这两种进位计数制相比于二进制位数要简短得多。

　　八进制与十六进制之间的转换依赖于二进制、八进制、十六进制之间的特殊关系。

　　8¹ = 2³；　　  1位八进制数相当于3位二进制数。

　　16¹ = 2⁴；　　1位十六进制数相当于4位二进制数。

二进制数、八进制数、十六进制数之间的关系表

八进制数	对应二进制数	十六进制数	对应二进制数	十六进制数	对应二进制数
0	000	0	0000	8	1000
1	001	1	0001	9	1001
2	010	2	0010	A	1010
3	011	3	0011	B	1011
4	100	4	0100	C	1100
5	101	5	0101	D	1101
6	110	6	0110	E	1110
7	111	7	0111	F	1111

 　　根据这种对应关系。

　　将二进制转换为八进制时，从小数点开始分别向左右两边分组，每3位为一组，两头不足3位补0。再分别进行转换。

　　将二进制转换为十六进制时，从小数点开始分别向左右两边分组，每4位为一组，两头不足4位补0。再分别进行转换。

　　Example1：将二进制数(10101011.110101)_B分别转换为八进制数和十六进制数。

　　(10101011.110101)_B = (010 101 011 • 110 101)_B = (253.65)_O 　　{010=2,101=5,011=3,110=6,101=5}；

　　(10101011.110101)_B = (1010 1011 • 1101 0100)_B = (AB.D4)_H {1010=A,1011=B,1101D,0100=4}；

 

　　同样的，将八进制数或十六进制数转换为二进制数，将八进制数的1位转换为二进制数的3位，将十六进制数的1位转换为二进制数的4位即可。

 

　　八进制数与十六进制数之间的转换将二进制数作为中间量来完成。

非位置化数字系统(了解即可)

　　如罗马数字

　　1-Ⅰ、2-Ⅱ、3-Ⅲ、4-Ⅳ、5-Ⅴ、6-Ⅵ、7-Ⅶ、8-Ⅷ、9-Ⅸ。

　　10-Ⅹ、11-Ⅺ、12-Ⅻ、13-XIII、14-XIV、15-XV、16-XVI、17-XVII、18-XVIII、19-XIX、20-XX