高中必修二：统计

Part.0 目录

• 求和符号的引入
  • 求和符号的基本写法
  • 求和符号的基础性质
• 平均数与方差
  • 平均数
    • 算数平均数
    • 加权算数平均数
  • 方差

---

Part.1 求和符号的引入

1.1 求和符号的基本写法

在小学乃至初中的数学学习中，我们常常会遇到一串数字相加的情况，写起来很麻烦。于是数学家发明了求和符号（Sigma），它可以帮助我们简便、快速的书写数学公式，并且起到辅助计算的作用。

求和符号由 \(3\) 部分组成，形如：

\[\sum_{A}^{B}C \]

• \(A\) 表示求和下限或所求和的数的特征或性质。
• \(B\) 表示求和上线。
• \(C\) 表示求和内容。

如果这样说比较抽象，我们可以举一个最简单的例子。

\[1+2+\cdots+n \]

它用求和符号表示的形式如下：

\[\sum_{i=1}^{n}i=1+2+\cdots+n \]

当然，求和符号不一定只表示一个具体的数字，也可以表示单项式甚至多项式。

\[x_1+x_2+\cdots+x_n \]

它用求和符号表示也极其精简：

\[\sum_{i=1}^{n}x_i=x_1+x_2+\cdots+x_n \]

如果还有不熟练的朋友，可以自己多写几个求和公式，久而久之就可以熟练掌握了。

1.2 求和符号的基础性质

在上一章中，我们初步认识了求和符号，在这一章中，我们会认识两个求和符号的公式，并用简洁易懂的方式进行简单的证明。

1.

\[\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}b_i \]

想要证明它，我们可以考虑将其拆分，然后利用加法的交换律与结合律简单证明。

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i) &= (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\cdots+(a_n+b_n) \\ &= (a_1+a_2+\cdots+a_n)+(b_1+b_2+\cdots+b_n) \\ &= \sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}b_i \end{aligned} \]

证明完毕，我们进入下一个。

2.

\[\sum_{i=1}^{n}xa_i=x\sum_{i=1}^{n}a_i \]

与第一个公式相比，这个公式更加简洁明了，拆分之后，运用一次乘法分配律就可以将共同的系数 \(x\) 提取出来，从而完成证明。

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}xa_i &= xa_1+xa_2+\cdots+xa_n \\ &=x(a_1+a_2+\cdots+a_n) \\ &= x\sum_{i=1}^{n}a_i \end{aligned} \]

了解了这些，我们就正式可以进入统计的章节。

Part.2 平均数与方差

2.1 平均数

在数据分析和数学计算中，均值是描述数据集中趋势的最基本统计量之一。然而，“均值”一词并非指代单一的计算方法，而是包含多种不同类型的平均计算方式。最常用的四种均值计算方法分别是：算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数。

算数平均数

初中时，我们定义平均数为一组数据的总和除以数据的个数，即：

\[\bar x=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n) \]

这，是统计学中最基本，最常用的平均指标：算数平均数。
到了高中，我们可以用求和符号的形式来表示它：

\[\bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]

算数平均数是各种复杂统计分析的基础，后文的方差就是其中之一。

---

加权算数平均数

加权算术平均数是在普通算术平均数的基础上，为每个数据赋予不同的权重，根据各数据的重要程度或出现次数进行加权计算得到的平均值。

与普通算术平均数将所有数据视为同等重要不同，加权算术平均数能够更真实地反映不同数据对整体结果的影响，因此在实际应用中更加广泛。

设数据为:

\[x_1,x_2,\cdots,x_n \]

对应的权重分别为:

\[w_1,w_2,\cdots,w_n \]

则加权算术平均数为:

\[\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i} \]

其中：

• \(x_i\)：第 \(i\) 个数据；
• \(w_i\)：第 \(i\) 个数据对应的权重；
• \(\sum_{i=1}^{n}w_i\)：所有权重之和。

若所有权重都相等，即:

\[w_1=w_2=\cdots=w_n \]

则该公式退化为普通算术平均数：

\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]

加权算术平均数广泛应用于需要考虑不同数据重要性的场景，例如教育评价，金融与投资和工程与科学研究。

---