集合与逻辑用语

集合和逻辑用语

本文转载自知乎：高中数学老师小易。

一、集合

1. 集合的概念

• 把一些确定的、不同的对象看成一个整体，就是一个集合。
• 集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
• 元素与集合的关系：
  • \(a\in A\)：\(a\) 是集合 \(A\) 的元素
  • \(a\notin A\)：\(a\) 不是集合 \(A\) 的元素

2. 常用数集

• \(\mathbb N\)：自然数集（含 0）
• \(\mathbb N_+\) 或 \(\mathbb N^*\)：正整数集
• \(\mathbb Z\)：整数集
• \(\mathbb Q\)：有理数集
• \(\mathbb R\)：实数集
• \(\mathbb C\)：复数集

3. 集合的表示方法

1. 列举法：把元素一一列举，如 \(\{1,2,3\}\)
2. 描述法：\(\{x\mid p(x)\}\)
3. 图示法（Venn 图）：直观表示集合关系

4. 集合间的关系

• 子集：若对任意 \(x\in A\) 都有 \(x\in B\)，则 \(A\subseteq B\)
• 真子集：\(A\subseteq B\) 且 \(A\neq B\)，记作 \(A\subsetneqq B\)
• 相等：\(A\subseteq B\) 且 \(B\subseteq A\iff A=B\)
• 空集：不含任何元素，记作 \(\varnothing\)
  • \(\varnothing\) 是任何集合的子集
  • \(\varnothing\) 是任何非空集合的真子集

5. 集合的运算

1. 交集：\(A\cap B=\{x\mid x\in A \text{ 且 } x\in B\}\)
2. 并集：\(A\cup B=\{x\mid x\in A \text{ 或 } x\in B\}\)
3. 补集：\(\complement_U A=\{x\mid x\in U \text{ 且 } x\notin A\}\)

6. 重要公式与结论

• \(A\cap A=A,\ A\cup A=A\)
• \(A\cap\varnothing=\varnothing,\ A\cup\varnothing=A\)
• \(A\cap\complement_U A=\varnothing\)
• \(A\cup\complement_U A=U\)
• \(\complement_U(\complement_U A)=A\)
• 交换律：\(A\cap B=B\cap A,\ A\cup B=B\cup A\)
• 结合律、分配律略
• 容斥原理：
  \[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]

7. 子集个数

若集合 \(A\) 中有 \(n\) 个元素，则

• 子集个数：\(2^n\)
• 真子集个数：\(2^n-1\)
• 非空子集：\(2^n-1\)
• 非空真子集：\(2^n-2\)

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二、常用逻辑用语

1. 命题

• 可以判断真假的陈述句叫命题。
• 真命题、假命题。

2. 四种命题

原命题：若 \(p\)，则 \(q\)

• 逆命题：若 \(q\)，则 \(p\)
• 否命题：若 \(\neg p\)，则 \(\neg q\)
• 逆否命题：若 \(\neg q\)，则 \(\neg p\)

重要结论：
原命题 \(\iff\) 逆否命题
逆命题 \(\iff\) 否命题

3. 充分条件与必要条件

若 \(p\Rightarrow q\)：

• \(p\) 是 \(q\) 的充分条件
• \(q\) 是 \(p\) 的必要条件

若 \(p\Leftrightarrow q\)：

• \(p\) 是 \(q\) 的充要条件

4. 含逻辑联结词的命题

• \(p\land q\)（且）：全真才真
• \(p\lor q\)（或）：一真即真
• \(\neg p\)（非）：真假相反

5. 全称量词与存在量词

• 全称量词：\(\forall\)（任意）
• 存在量词：\(\exists\)（存在）

命题的否定：

• \(\forall x,p(x)\) 的否定：\(\exists x,\neg p(x)\)
• \(\exists x,p(x)\) 的否定：\(\forall x,\neg p(x)\)

注意：
命题的否定只否定结论；
否命题既否定条件又否定结论。