三角函数学习笔记

三角函数学习笔记

Part.0 目录

• 任意角与弧度制
  • 任意角
  • 弧度制
• 三角函数基础知识
  • 三角函数新定义
  • 同角三角函数关系
• 正弦定理及其应用
  • 叙述并证明正弦定理

Part.1 任意角与弧度制

1.1 任意角

这，是我们在小学二年级就学过的角，由两条射线（边）和一个顶点组成，两条射线（边）的夹角的度数就是这个角的度数。

这个定义对于广大小学生与初中生群体来说，再熟悉不过了。但是，在生活中，我们难免会遇到比 \(360^\circ\) 还要大得多的角，为解决这个问题，我们就要引出任意角。

在高中里，我们定义一个角的度数，为这个角在坐标轴上由始边旋转到终边的角度。其中，这个角的顶点在原点 \(O\)，且一个角对应唯一且确定的终边，但一个终边可以对应无数个角，角的大小决定了终边的位置。与小学与初中的不同，旋转的角度，是可以大于 \(360^\circ\) 的。

想必大家都注意到，刚才这个角是往逆时针方向转动的，那有的读者要问了，有没有按顺时针转的角？有的。接下来，我们引出正角和负角的概念。

沿始边逆时针转动的角，是正角；沿始边顺时针转动的角，是负角。逆时针转，角变大；顺时针转，角变小。现在，通过任意角，我们可以表示出任何实数角，这是数学史的一次跨越。

特别的，角还有象限的区别。如果这个角的终边落在第 \(n\) 象限（\(1\le n\le 4\)），这个角就是第 \(n\) 象限角。

1.2 弧度制

在小学和初中，我们用角度制来衡量角的大小（见上方任意角开头部分）。但随着年龄的逐渐增加，在高中，我们改变了衡量角的大小的方法，即我们将要讲的弧度制。

上图，是由三个同心圆组合而成的图形。其中，我们定义角 \(\alpha=\frac{l}{r}\)。

由上，在角度制下，我们规定周角为 \(360^\circ\)。

在弧度制下，周角计算为：

\[\alpha = \frac{l}{r} = \frac{2\pi r}{r}=2\pi \]

再经过变换：

\[2\pi=360^\circ \]

\[\pi=180^\circ \]

这是高中的一个重要等式，之后的三角函数都建立在此基础上。

为了方便大家记忆，这里给出一份常见角的弧度制表达形式。

Part.2 三角函数基础知识

先给大家附上一份三角函数诱导公式的图谱，大家可以先将此章节看完再回来仔细看。

2.1 三角函数新定义

在初中里，我们已经学习过一些三角函数的定义，但仅仅只限于锐角的范围。因为初中的三角函数都在一个直角三角形中定义，除去直角外，其他的两个角都只能是锐角。如上图，角 \(\theta\) 的正弦，余弦和正切值如下：

\[\sin \theta=\frac{a}{c} \]

\[\cos \theta=\frac{b}{c} \]

\[\tan \theta=\frac{a}{b} \]

到了现在，我们重新定义了三角函数。上图是一个半径为 \(1\) 的单位圆，角 \(\alpha\) 的终边与单位圆有唯一的交点 \((x_0,y_0)\)，正弦，余弦和正切值如下：

\[\sin \alpha=y_0 \]

\[\cos \alpha=x_0 \]

\[\tan \alpha=\frac{y_0}{x_0} \]

2.2 同角三角函数关系

同角三角函数中，\(\sin\)，\(\cos\) 和 \(\tan\) 之间的转换，是高中必须知道，也必须掌握的知识。

在上一个小节中，我们有对三角函数的新定义，由此，我们可以经过一些变换：

\[\tan \alpha=\frac{y_0}{x_0} \]

\[\because y_0=\sin \alpha \]

\[\because x_0=\cos \alpha \]

\[\therefore \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

就得到了 \(\tan\) 与 \(\sin\)，\(\cos\) 的关系。

但 \(\sin\) 和 \(\cos\) 之间有没有关系呢？我们来试试。

上图中，\(\sin\) 和 \(\cos\) 已经标明。什么定理运用在直角三角形里，可以在已知两边的情况下求出第三边呢？

等等，这不就是我们在小学二年级就学过的勾股定理吗？稍加变换，我们即可得到如下式子：

\[a^2+b^2=c^2 \]

\[\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1 \]

就这样，我们轻松愉快的得出了同角三角函数的关系。

Part.3 正弦定理及其应用

3.1 叙述并证明正弦定理

简述结论：

对于上图中的三角形 \(ABC\)，若我们设 \(R\) 为此三角形的外接圆直径，则有：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

这便是我们耳熟能详的正弦定理。

证明过程：

我们做出三角形 \(ABC\) 外接圆，如下图：

在 \(Rt\triangle{A'BC}\) 中，\(\sin A'=\frac{a}{2R}\)。

\(\therefore \frac{a}{\sin A'}=2R\)。

\(\therefore \frac{a}{\sin A}=2R\)。

同理，\(\frac{b}{\sin B}=2R\)，\(\frac{c}{\sin C}=2R\)。

综上，\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)，正弦定理证明完毕。