三角形基本定理

三角形基本定理：

\(1\).海伦公式

• 我们设一个三角形的 \(3\) 条边为 \(A\)，\(B\)，\(C\)，定义 \(P=\frac{A+B+C}{2}\)，则这个三角形的面积为:

• \[S=\sqrt{P(P-A)(P-B)(P-C)} \]

\(2\).正弦定理

• 对于一个三角形，我们定义 \(a\)，\(b\)，\(c\) 为三角形边长，\(A\)，\(B\)，\(C\) 为对应角，\(R\) 为外接圆半径。
• 则这个三角形各边与其对角的正弦值（\(\sin\)）之比相等，且等于外接圆直径（\(2R\)），公式为：

• \[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \]

\(3\).余弦定理

• 对于一个三角形，我们定义 \(a\)，\(b\)，\(c\) 为三角形边长，\(A\)，\(B\)，\(C\) 为对应角。
• 则这个三角形任一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与其夹角余弦（\(\cos\)）的乘积的两倍，公式为：

• \[a^2=b^2+c^2−2bc\cos A \]

• 类似的两边还有：

• \[b^2=a^2+c^2−2ac\cos B \]

• \[c^2=a^2+b^2−2ab\cos C \]

\(4\).叉积

• 叉积的运算结果是一个向量，其数学定义为：
• 模长‌：\(|a \times b|=|a||b|\sinθ\)
• 方向‌：垂直于 \(a\) 和 \(b\) 所在的平面，遵循右手定则（右手四指从 \(a\) 转向 \(b\) 时，拇指指向叉积方向）。
• 对于三维向量 \(a=(a1,a2,a3)\) 和 \(b=(b1,b2,b3)\),运算公式如下：

• \[a \times b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1) \]