平面向量学习笔记

平面向量学习笔记

Part.0 目录

• 向量的初步认识。
  • 向量的概念。
  • 共线向量（平行向量）。
  • 向量的坐标表示。
• 向量的线性运算。
  • 向量的加法。
  • 向量的减法。
  • 习题演练。

Part.1 向量的初步认识

1.1 向量的概念

既然是概念，我们废话不多说，直接上干货。

1. 既有方向又有大小的量叫向量，如：\(\vec a\)，\(\vec{AB}\)。
2. 向量的大小又叫向量的模，如以下的向量 \(\vec{AB}\)，若一个小方格的边长等于 \(1\)，它的模就等于 \(5\)。
   
3. 向量 \(\vec a\) 的模长可以用 \(|\vec a|\) 表示，模可以比较大小。如 \(|\vec a|=3\) 和 \(|\vec b|=4\)，则有 \(|\vec a|<|\vec b|\)。
4. 向量本身不能直接比较大小，只有模可以比较大小。
5. 零向量是一种方向为 \(\forall\)，模为 \(0\) 的特殊向量。
6. 单位向量写作 \(\vec e\)，且 \(|\vec e|=1\)，与 \(\vec a\) 同向的单位向量为 \(\frac{\vec a}{|\vec a|}\)。
7. 向量可以进行平移，平移后的向量大小和方向都不变。

1.2 共线向量（平行向量）

概念与规定

1. 方向相同或相反的非零向量叫作共线向量（平行向量）。
2. 若 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 方向相同，大小相同，则有 \(\vec a=\vec b\)。
3. 若 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 平行，则有 \(\vec a//\vec b\)。
4. \(\vec 0\) 与 \(\forall\vec a\) 都平行。
5. 若 \(\vec a//\vec b\)，且 \(\vec b\) 是非零向量，则存在唯一 \(\lambda \in R\)，使 \(\vec a=\lambda\vec b\)。

\(\lambda\) 与数乘

\[\lambda \vec a=\begin{cases} 方向 & \begin{cases} \lambda>0 与 \vec a 同向\\ \lambda<0 与 \vec a 反向\end{cases}\\大小 & |\lambda||\vec a|\end{cases} \]

特别的，\(0\cdot\vec a=\vec0\)。

1.3 向量的坐标表示

说完了这些，我们来学习向量的坐标表示。
简单来说，向量的坐标，就是向量指向的那个点，所对应的在平面直角坐标系中的位置。
如以下向量，它的坐标就为 \((2,2)\)。

学会了这些，向量的加减法会变得更加简单易懂。

Part.2 向量的线性运算

接下来，我们来学习向量的线性运算。

2.1 向量的加法

有两个向量 \(\vec a\) 和 \(\vec b\)，要怎样计算它们的和呢？其实很简单。三角形法则和平行四边形法则就是专门解决向量的加减法的。

1. 三角形法则。
   
   其中 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 首尾相接。
2. 平行四边形法则。
   
   其中 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 起点相同。

如果知道向量的坐标表示，向量的加法会更加简单。
若有向量 \((3,4)\) 和 \((2,5)\)，则这两个向量的和为 \((5,9)\)，即：

\[(x,y)+(x1,y1)=(x+x1,y+y1) \]

这较于三角形法则和平行四边形法则更加简单明了。

以下是一些性质：

1. \(\vec a+\vec b\) 方向不变，大小（模）相加。
2. \(\vec a+\vec b\) 方向与 \(\vec b\) 相同，则大小为 \(|\vec b|-|\vec a|\)。
3. 若有一个封闭的图形，则其每条边的向量相加等于 \(\vec 0\)。
4. \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\)。
5. \((\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)\)。

2.2 向量的减法

要计算 \(\vec a-\vec b\)，与向量的加法类似，但与向量的加法不同的是，向量的减法只有三角形法则。

1. 三角形法则。
   
   其中 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 起点相同。

与向量的加法相同，向量的减法也可以因为坐标简化。
若有向量 \((5,6)\) 和 \((4,3)\)，则这两个向量的差为 \((1,3)\)，即：

\[(x,y)-(x1,y1)=(x-x1,y-y1) \]

这较于三角形法则更加简单明了。

2.3 习题演练

我们来做 \(2\) 道题熟悉一下。

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1. 设 \(\vec a\)，\(\vec b\) 为单位向量，且 \(|\vec a-\vec b|=1\)，则 \(|\vec a+\vec b|\) 等于多少？

在第一个式子 \(|\vec a-\vec b|=1\) 中，我们可以看见 \(3\) 个 “\(1\)”。
根据向量的三角形法则，我们不难想到 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 的夹角为 \(60\) 度。
根据向量的平行四边形法则，我们进行割补，最终答案：

\[\begin{aligned} \sqrt{{(1\times \sin 30°+1)}^2+{(1\times \cos 30°)}^2} &= \sqrt{{(\frac{1}{2}+1)}^2+{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^2}\\ &= \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}} \\ &= \sqrt{3} \end{aligned} \]

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2. 在 \(\bigtriangleup ABC\) 中，\(AD\) 为 \(BC\) 边上的钟祥，\(E\) 为 \(AD\) 的中点，则 \(\vec{EB}\) 等于多少？

如果不好理解，放张图会好些（自己画的有点丑）。

通过观察，和一些三角形和平行四边形法则，我们可以得出：

\[\begin{aligned} \vec{EB} &= \vec{ED} + \vec{DB} \\&= \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{CB} \\&= \frac{1}{4}(\vec{AB}+\vec{AC})+\frac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{AC}) \\&= \frac{3}{4}\vec{AB} - \frac{1}{4}\vec{AC} \end{aligned} \]

由于已经不能化简，则最终答案为 \(\frac{3}{4}\vec{AB} - \frac{1}{4}\vec{AC}\)。

Part.3