[codevs1039]数的划分

这一题实际上是组合数学里面的经典问题，跟第二类Stirling数有些相似。可以把一个数值为n的数看成n个小球，划分的份数k看作是k个盒子，那么本题的要求就是：

将n个小球放到k个盒子中，小球之间与盒子之间没有区别，并且最后的结果不允许空盒

与第二类Stirling数的递推公式的推导过程相似：

将n个小球放到k个盒子中的情况总数 = 

1. 至少有一个盒子只有一个小球的情况数

+

2. 没有一个盒子只有一个小球的情况数

 

这样进行划分的原因是这种分类足够特殊，1和2都有可以写出来的表达式：

1. 因为盒子不加区分，那么1的情况数与“将n-1个小球放到k-1个盒子中”的情况数一样

2. 没有一个盒子只有一个小球，那么把每个盒子中拿出来一个小球，对应的是“把(n-k)个小球放到k个盒子中的情况数”

至于1和2中的两种等价关系为什么成立，可以用集合A=集合B的方式去证明

 

最后将上面的叙述转化为dp的表达形式：

f[n][k]代表将n个小球放到k个盒子中且没有空盒的情况，那么

f[n][k] = f[n-1][k-1] + f[n-k][k]

 

这道题说是dp，其实就是递推

代码：

var
        f:array[0..1000,0..1000] of longint;
        m,n,i,j,k,l,ans:longint;

        begin
                readln(n,k);
                for i:=1 to n do
                for j:=1 to i do
                begin
                        f[i][j]:=f[i-j][j]+f[i-1][j-1];
                        if (i=1) and (j=1) then f[i][j]:=1;
                end;
                writeln(f[n,k]);
        end.

 

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