[ZJOI2007]棋盘制作

ZJOI2007棋盘制作

Description

　　国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源

于易经的思想，棋盘是一个8*8大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。而我们的主人公小Q，

正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定

将棋盘扩大以适应他们的新规则。小Q找到了一张由N*M个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种

颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。不过小Q还没有决定是找

一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他

希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。于是小Q找到了即将参加全

国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

Input

　　第一行包含两个整数N和M，分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的N行包含一个N * M的01矩阵，表示这张矩形

纸片的颜色（0表示白色，1表示黑色）。

Output

　　包含两行，每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积，第二行为可以找到的最大矩形棋

盘的面积（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

Sample Input

3 3
1 0 1
0 1 0
1 0 0

Sample Output

4
6

HINT

N, M ≤ 2000

Solution

这道题总体来说应该不是一道思维难度特别大的DP，因为n和m的范围并不是那么大，所以只需要想出来一种nm的算法就可以了。

题解里有很多单调栈的写法，其实用不着，也有很多奇奇怪怪比较难懂的解法，笔者表示虽然做出来这个题，但还是看不懂他们的题解。。。那么我们需要一种性价比比较高的方法来实现这道题目。

可以发现的是，这个题目的矩阵里的数字只有0和1两种状态，所以我们可以考虑一下使用前缀的思想和min的思想实现这道题目。

我们先用\(l[i][j]\)来表示从\((i，j)\)这个点向左延展最多能有的棋盘的宽度，用\(r[i][j]\)来表示向右延展能有的宽度，这么一来我们就可以用\(r[i][j]+l[i][j]-1\)直接算出当前能有的宽度。

然后我们用\(h[i][j]\)来表示\((i,j)\)这个点能有的最大的高度，同时我们限制上面的l和r数组表示为到当前这一行向左向右延展的最大宽度。注意：这个地方不能简单的看完跳过去了，这里留下几个问题留待读者自己根据代码发掘。第一个就是为什么可以这么写，因为我们后面要使用\((h[i][j]+1)\times (r[i][j]+l[i][j]-1)\)来计算最大矩形的面积，那么此时的h一定就是在我们想要的那个宽度的范围内么？第二个就是我们从第一行向下进行递推，那么我们的l和r数组在第一行都相同也就是都为1的情况下，能够找到下面的最大矩形么？

这两个问题解决了之后，这个题也就没什么难点了。

Code

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define re register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define ms(arr) memset(arr, 0, sizeof(arr))
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int l[2001][2001],r[2001][2011],h[2001][2001],f[2001],a[2001][2001],n,m,ans,sum;
inline int read()
{
    int x=0,c=1;
    char ch=' ';
    while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-')ch=getchar();
    while(ch=='-') c*=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*c;
}
int main() 
{
    //freopen("date.in","r",stdin);
    n=read();m=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++)
    	for(re int j=1;j<=m;j++){
    		a[i][j]=read();
    	}
    for(re int i=1;i<=n;i++){
    	for(re int j=1;j<=m;j++)
    		if(a[i][j]!=a[i][j-1]) l[i][j]=l[i][j-1]+1;
    		else l[i][j]=1;
    	for(re int j=m;j>=1;j--)
    		if(a[i][j]!=a[i][j+1]) r[i][j]=r[i][j+1]+1;
    		else r[i][j]=1;
    }
    for(re int i=2;i<=n;i++)
    	for(re int j=1;j<=m;j++){
    		if(a[i][j]!=a[i-1][j]){
    			h[i][j]=h[i-1][j]+1;
    			l[i][j]=min(l[i][j],l[i-1][j]);
    			r[i][j]=min(r[i][j],r[i-1][j]);
    		}
    	}
    for(re int i=1;i<=n;i++){
    	for(re int j=1;j<=m;j++){
    		int E=min(h[i][j]+1,r[i][j]+l[i][j]-1);
    		ans=max(ans,E*E);
    		sum=max(sum,(h[i][j]+1)*(r[i][j]+l[i][j]-1));
    	}
    }
    cout<<ans<<endl<<sum;
    return 0;
}
/*
5 5
1 1 1 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 1 1 1
*/

附赠一组数据验证上面想让读者思考的两个点。