P1516 青蛙的约会 解题笔记

很容易想到，如果他们相遇，他们初始的位置坐标之差\(x-y\)和跳的距离\((n-m)t\)（设\(t\)为跳的次数）之差应该是模纬线长\(l\)同余的，即\((n-m)t\equiv x-y(\mod l)\)

转化一下，不就变成了让我们求一个不定方程\((n-m)t+kl=x-y(k\in \mathbb Z)\)中\(t\)的最小非负整数解么？

设\(a=n-m,b=l,c=x-y\)，把它转化成我们比较熟悉的一般不定方程的形式\(ax+by=c\)（此式的\(x,y\)与题目给的坐标意义不同）

首先，设\(g=\gcd(a,b)\)我们可以通过扩欧求出\(ax_0+by_0=g\)中\(x_0\)的一个解

这时，因为\(\frac{ax+by}g\)为整数，所以\(\frac c g\)也必须是整数，否则无解

否则，等式两边同乘\(\frac cg\)，得\(a\frac{cx_0}g+b\frac{cy_0}{g}=c\)

那么，\(x=\frac{cx_0}g\)就是\(ax+by=c\)中\(x\)的一个解

如何由一个解得到其它解呢？有一个恒等式 \(a(x+db)+b(y-da)=c\)。

在保证 \(db, da\) 都是整数的情况下，我们让 \(d\) 最小，就可以得到所有的整数解，那么 \(d=\frac 1g\)。

如果解出的 \(x>0\)，那么最小非负整数解等于 \(x\mod\frac b g\)；否则等于 \(x\mod\frac b g+\frac b g\)。

得到答案为(x%(b/g)+b/g)%(b/g)

发现\(\gcd\)只对非负整数有意义。

如果\(a<0\)等式两边要同时取负，\(a,c\)都要变成相反数。

然后写个exgcd就好了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int _;
#define endl '\n'
#define int long long

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int x1, y1, d;
    d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return d;
}

void solve()
{
    int x, y, m, n, l;
    cin >> x >> y >> m >> n >> l;
    long long A = n - m, B = x - y;
    if (A < 0)
        A = -A, B = -B;
    int r = __gcd(A, l);
    exgcd(A, l, x, y);
    if (B % r)
        cout << "Impossible";
    else
    {
        int num = (B / r);
        x *= num;
        int k;
        if (x < 0)
        {
            k = (abs(x) + (l / r)) / (l / r);
        }
        else
            k = -(x / (l / r));
        x += k * (l / r);
        cout << x << endl;
    }
}

signed main()
{
    solve();
    return 0;
}