P3188 [HNOI2007] 梦幻岛宝珠 解题报告

题意

给你 \(n\) 颗宝石，每颗宝石都有重量和价值。要你从这些宝石中选取一些宝石，保证总重量不超过 \(W\)，且总价值最大，并输出最大的总价值。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n \le 100\)，\(1\le W,w_i,v_i \le 2^{30}\)

保证每个 \(w_i\) 能写成 \(a \times 2^b\space (a,b \in \mathbb N)\) 的形式，\(a \leq 10\) , \(b \leq 30\)，且答案不超过 \(2^{30}\)。

思路

第一眼以为是个01背包板子，然后发现数据范围不对劲

之前好像在信友队做过类似的，但是我忘记怎么写了。

考虑将每一个 \(w_i\) 拆位，拆成 \(a \times 2 ^ b\) 的形式，然后按 \(b\) 分类成一组一组的就可以了。

考虑每一组内的情况，每一组内 \(a\) 就是体积。

设 \(dp_{i, j}\) 为在第 \(i\) 组中选取体积为 \(j\) 的最大值，\(w_{i,j}\) 和 \(v_{i,j}\) 是处理后的宝石。

则有 \(dp_{i,j} = \max(dp_{i,j},\ dp_{i, j - v_{i, k}}\)