整体二分学习笔记

整体二分

整体二分是什么？

可以使用整体二分解决的题目需要满足以下性质：

  1. 询问的答案具有可二分性；
  2. 修改对判定答案的贡献互相独立，修改之间互不影响；
  3. 修改对判定答案的贡献是一个确定的值，与判定标准无关；
  4. 贡献满足交换律、结合律，并且具有可加性；
  5. 题目允许离线算法。

——许昊然《浅谈数据结构题几个非经典解法》

解释

记 \([l,r]\) 为答案的值域，\([L,R]\) 为答案的定义域（即当前只考虑下标在 \([L,R]\) 内的操作和询问，且这些询问的答案落在 \([l,r]\) 内）。

  • 首先，将所有操作 按时间顺序 存入数组，然后开始分治。
  • 在每一层分治中，借助数据结构（通常是树状数组）统计当前询问的答案与 \(mid\) 的关系。
  • 根据查询结果与 \(mid\) 的关系（小于等于 \(mid\) 或大于 \(mid\)），将当前处理的操作序列划分为 \(q1\) 和 \(q2\) 两份，并分别递归处理。
  • 当 \(l = r\) 时，找到答案，记录并返回。

需要注意的是，在整体二分过程中，若当前处理的值域为 \([l,r]\)，则最终答案不在 \([l,r]\) 内的询问会在其他时候处理。

例子：查询区间第 \(k\) 小

将所有询问一起进行二分。假设当前二分值域区间为 \([L,R]\)（离散化后的下标，\(L,R\) 均为下标），令 \(mid = \lfloor (L+R)/2 \rfloor\)。对于每个询问，需要知道区间内有多少个数 \(\le mid\)，记作 \(cnt\)：

  • 若 \(cnt \ge k\)，则答案在 \([L,mid]\) 中；
  • 否则，答案在 \((mid,R]\) 中，且在该子区间内相当于寻找第 \(k-cnt\) 小的数。

为了快速计算 \(cnt\)，可以在序列上使用树状数组。具体步骤如下：

  1. 将所有操作（包括 \(n\) 个“插入”操作和 \(m\) 个“询问”操作）按顺序排列：

    • 插入操作：\((pos, val)\)，表示在位置 \(pos\) 上有一个值为 \(val\) 的数；
    • 询问操作：\((l, r, k, id)\)，表示询问区间 \([l,r]\) 中第 \(k\) 小的数，编号为 \(id\)。

  2. 定义整体二分函数 solve(L, R, ops) 处理当前操作集合 ops，值域范围为 \([L,R]\)：

    • 若 ops 为空，直接返回；
    • 若 \(L = R\)，则 ops 中所有询问的答案即为 \(L\) 对应的原数值，记录后返回；
    • 令 \(mid = (L+R)/2\)；
    • 初始化树状数组为空；
    • 从左到右扫描 ops 中的每个操作：
      • 如果是插入操作 \((pos, val)\)：
        • 若 \(val \le mid\)，则在树状数组的 \(pos\) 位置加 \(1\)，并将该操作放入左子问题 lop；
        • 否则，不修改树状数组，直接放入右子问题 rop；
      • 如果是询问操作 \((l, r, k, id)\)：
        • 查询树状数组中 \([l,r]\) 的和，记为 \(cnt\)；
        • 若 \(cnt \ge k\)，说明答案在左半区间，将询问放入 lop；
        • 否则，说明答案在右半区间，将询问的 \(k\) 减去 \(cnt\) 后放入 rop；
    • 扫描结束后，需要还原树状数组（即对所有加过 \(1\) 的位置再次减 \(1\)）；
    • 递归处理左子问题 solve(L, mid, lop) 和右子问题 solve(mid+1, R, rop)。

  3. 初始时，所有插入操作和询问操作构成初始操作序列 ops0，值域范围为 \([1, N]\)，其中 \(N\) 是离散化后不同值的个数。

例题

P3834 【模板】可持久化线段树 2

题意：查询区间第 \(k\) 小。

思路：如上例所述。

P3527 [POI 2011] MET-Meteors

题意：给出一个环形序列，被分为 \(m\) 段。有 \(n\) 个国家，序列的第 \(i\) 段属于国家 \(o_i\)。接下来有 \(k\) 次事件，每次给环形序列上的一个区间加上一个正整数。每个国家有一个期望 \(p_i\)，求出每个国家在序列上所有位置的值的和首次达到 \(p_i\) 的最早时间（若无法达到则报告）。

数据范围：\(1 \le n, m, k \le 3 \times 10^5\)。

hint 1：首先确定整体二分的值域，即我们二分的答案。考虑加入一个虚拟的修改操作。

hint 2：使用树状数组配合差分实现修改。

思路：
将天数作为值域，即用 \(1\) 到 \(k\) 作为整体二分的值域。定义递归函数 solve(L, R, l, r)，其中 \([L,R]\) 为值域（天数），\([l,r]\) 为询问集合。
对于当前二分到的值域区间 \([L,R]\)，取 \(mid = (L+R)/2\)。如果 \([L,mid]\) 内的修改操作已经能使某个询问达到指标，则将该询问放入左子区间 \([l, m]\)（\(m = (l+r)/2\)），否则放入右子区间。
修改操作可以用树状数组配合差分实现（线段树亦可）。
如何判断无解？可以加入一个虚拟的修改操作，即给区间 \([1,m]\) 加上无穷大，并将修改操作总数 \(k\) 加一。最后输出时，若答案等于 \(k\)，则表示无解。

P2617 Dynamic Rankings

题意：查询区间第 \(k\) 小，带单点修改。

hint：考虑使用支持修改的数据结构。

思路：与静态区间第 \(k\) 小的模板类似，只是需要支持修改操作。可以将修改操作视为先删除原值再插入新值，配合树状数组维护即可。

P3332 [ZJOI2013] K 大数查询

题意：查询区间第 \(k\) 大，带插入操作（在区间内每个位置插入一个数）。

思路：与上一题类似，整体二分配合树状数组。注意此处是第 \(k\) 大，二分时需相应调整条件。

P1527 [国家集训队] 矩阵乘法

题意：静态二维区间查询第 \(k\) 小。

思路：将一维树状数组扩展为二维树状数组即可。

P4175 [CTSC2008] 网络管理

题意：一棵 \(n\) 个结点的树，每个点带点权。有 \(m\) 次操作，每次操作要么更改单点点权，要么查询树链上的第 \(k\) 大点权。

hint 1：初始点权视为增加点权，插入在所有操作的最前面。更改点权可以看成删除原值再增加新值，即拆成两次修改。

思路：
整体二分时，二分答案 \(mid\)，将大于 \(mid\) 的修改转化为单点权值 \(\pm 1\)。对于树链查询第 \(k\) 大，转化为链上权值之和是否等于 \(k\)。
二分条件：如果链上大于 \(mid\) 的点数小于 \(k\)，则答案小于等于 \(mid\)，否则答案大于 \(mid\)。
考虑每个节点维护到根路径上的信息，则单点修改变成子树修改，链查询变成四个单点查询（需借助 LCA）。子树对应 DFS 序上的一个区间，区间加法、单点查询可以用树状数组差分技巧转化为单点差分、区间前缀和。
LCA 可以在 DFS 时用 Tarjan 算法离线处理。
关于无解判断：可以往权值中加入一个 \(-1\)，若答案为 \(-1\) 则真实答案为无解。

posted @ 2026-03-08 14:32  Luowj  阅读(25)  评论(0)    收藏  举报