整体二分学习笔记

整体二分

整体二分是什么？

可以使用整体二分解决的题目需要满足以下性质：

1. 询问的答案具有可二分性

2. 修改对判定答案的贡献互相独立，修改之间互不影响效果

3. 修改如果对判定答案有贡献，则贡献为一确定的与判定标准无关的值

4. 贡献满足交换律，结合律，具有可加性

5. 题目允许使用离线算法

   ——许昊然《浅谈数据结构题几个非经典解法》

解释

记 [𝑙,𝑟] 为答案的值域，[𝐿,𝑅] 为答案的定义域．（也就是说求答案时仅考虑下标在区间 [𝐿,𝑅] 内的操作和询问，这其中询问的答案在 [𝑙,𝑟] 内）

• 我们首先把所有操作 按时间顺序 存入数组中，然后开始分治．
• 在每一层分治中，利用数据结构（常见的是树状数组）统计当前查询的答案和 𝑚𝑖𝑑 之间的关系．
• 根据查询出来的答案和 𝑚𝑖𝑑 间的关系（小于等于 𝑚𝑖𝑑 和大于 𝑚𝑖𝑑）将当前处理的操作序列分为 𝑞1 和 𝑞2 两份，并分别递归处理．
• 当 𝑙 =𝑟 时，找到答案，记录答案并返回即可．

需要注意的是，在整体二分过程中，若当前处理的值域为 [𝑙,𝑟]，则此时最终答案范围不在 [𝑙,𝑟] 的询问会在其他时候处理．

P3527 [POI 2011] MET-Meteors

题意

给出一个环形序列，被分为 \(m\) 段。有 \(n\) 个国家，序列的第 \(i\) 段属于国家 \(o_i\)。接下来有 \(k\) 次事件，每次给环形序列上的一个区间加上一个正整数。每个国家有一个期望 \(p_i\)，求出每个国家在序列上所有位置的值的和到达 \(p_i\) 的最早时间（或报告无法达到）。

​ \(1 \le n, m, k \le 3· 10 ^ 5\)

思路

首先确定整体二分的值域即我们二分的答案。

因为询问问的是天数，所以我们用 \(1\) 到 \(k\) 作为我们整体二分的值域。

我们设整体二分的函数为 \(solve(L,R,l,r)\)，其中 \(L\),\(R\) 表示值域，\(l\),\(r\) 表示询问。

对于当前二分到的值域区间 L,R,M=(L+R)/2，如果 [L,M] 的修改操作能够直接使得询问达成指标，则我们把这个询问放进询问区间 [l,m] 里，其中 m=(l+r)/2。

最后还原一下修改即可。

修改操作可以用树状数组+差分来实现，线段树也可以。

如何判断无解的情况呢？

我们可以加入一个虚拟的修改操作，即让区间 [1,m] 加上无穷大，让修改操作的个数 k 加一，最后输出答案的时候判断如果等于 k 即是无解。

P3834 【模板】可持久化线段树 2

题意

查询区间第 \(k\) 小

思路

静态区间第 \(k\) 小，简单模板题，我觉得应该第一个讲这道题的

经典做法是用朱熹树和分块在线回答，但是今天讲的是整体二分

整体二分 是一种 优雅 的离线算法，它将对所有询问（包括修改）一起进行二分答案，配合树状数组能够以 \(O((n+m)\log n \log V)\) 的复杂度解决问题

我们将所有询问一起进行二分。假设当前二分值域区间为 \([L,R]\)（离散化后的值域，\(L,R\) 均为下标），令 \(mid = \lfloor (L+R)/2 \rfloor\)。对于每个询问，我们需要知道区间内有多少个数 \(\le mid\)，记作 \(cnt\)：

• 若 \(cnt \ge k\)，说明答案在 \([L,mid]\) 中；
• 否则，答案在 \((mid,R]\) 中，且在该子区间内相当于寻找第 \(k-cnt\) 小的数

为了快速计算 \(cnt\)，我们可以在序列上使用树状数组。具体做法如下：

1. 将所有操作（包括初始的 \(n\) 个“插入”操作和 \(m\) 个“询问”操作）按顺序排列
   • 插入操作：\((pos, val)\)，表示在位置 \(pos\) 上有一个值为 \(val\) 的数
   • 询问操作：\((l, r, k, id)\)，表示询问 \([l,r]\) 中第 \(k\) 小的数，编号为 \(id\)。
2. 整体二分函数 solve(L, R, ops) 处理当前操作集合 ops，值域范围为 \([L,R]\)
   • 若 ops 为空，直接返回。
   • 若 \(L = R\)，则 ops 中的所有询问的答案即为 \(L\) 对应的原数值，记录后返回
   • 令 \(mid = (L+R)/2\)
   • 初始化树状数组为空。
   • 从左到右扫描 ops 中的每个操作：
     • 如果是插入操作 \((pos, val)\)：
       • 若 \(val \le mid\)，则在树状数组的 \(pos\) 位置加 \(1\)，并将该操作放入左子问题 lop
       • 否则，不修改树状数组，直接放入右子问题 rop
     • 如果是询问操作 \((l, r, k, id)\)：
       • 查询树状数组中 \([l,r]\) 的和，记为 \(cnt\)
       • 若 \(cnt \ge k\)，说明答案在左半区间，将询问放入 lop
       • 否则，说明答案在右半区间，将询问的 \(k\) 减去 \(cnt\) 后放入 rop。
   • 扫描结束后，需要将树状数组还原（即对所有在 \(pos\) 处加 \(1\) 的位置再次减 \(1\)）
   • 递归处理左子问题 solve(L, mid, lop) 和右子问题 solve(mid+1, R, rop)
3. 初始时，所有插入操作和询问操作构成初始操作序列 ops0，值域范围是 \([1, N]\)，其中 \(N\) 是离散化后不同值的个数

P2617 Dynamic Rankings

题意

查询区间第 \(k\) 小，带修改

思路

1. 将所有操作（包括初始序列的插入）按时间顺序排列成一个操作序列

2. 对答案的值域进行二分，设当前值域为 \([L,R]\)，取中点 \(mid = \lfloor (L+R)/2 \rfloor\)

3. 遍历当前操作序列：

4. 对于修改操作（如插入或删除一个值 \(v\)）：

• 若 \(v \le mid\)，则在树状数组的对应位置上加上该操作的贡献（\(+1\) 或 \(-1\)），并将该操作划分到“左子区间”（答案可能在 \([L,mid]\)）
• 否则直接划分到“右子区间”（答案可能在 \([mid+1,R]\)）

5. 对于查询操作 \([l,r,k]\)：

• 用树状数组查询当前区间内 \(\le mid\) 的数的个数 \(cnt\)
• 若 \(cnt \ge k\)，说明答案 \(\le mid\)，划分到左子区间
• 否则说明答案 \(> mid\)，将 \(k\) 减去 \(cnt\) 后划分到右子区间

6. 将当前层树状数组上的修改回滚（保证递归下层时树状数组为空）

7. 将划分好的左右子区间操作按顺序放回原数组，递归处理左右子区间，直到 \(L=R\)，此时所有属于该区间的查询答案即为 \(L\) 对应的原值

P3332 [ZJOI2013] K 大数查询

题意

查询区间第 \(k\) 小，带插入

思路

和上一道题差不多

P1527 [国家集训队] 矩阵乘法

题意

静态二维区间查询第 \(k\) 小

思路

将树状数组改为二维树状数组即可