序列dp

序列dp

最长不下降子序列

我们都会 \(O(n^2)\) 的做法，这里讲的是 \(O(n\ log\ n)\) 的做法。

依旧是求 \(f(i)\) 表示以 \(A_i\) 为结尾的最长不下降子序列的长度。

但我们不再是通过枚举去找到一个最优的 \(A_j \le A_i\)，而是维护一些信息直接 \(O(1)\) 判断以 \(A_i\) 为结尾的最长不下降子序列能否为 \(l\) 。

这里利用了一点贪心的思想，维护一个数组 \(d\)，\(d_l\) 表示考虑 \(1\) 到 \(i - 1\) 时，所以长度为 \(k\) 的不下降子序列末尾元素的值最小为多少。

若 \(A_i \ge d_{l-1}\)，则以 \(A_i\) 为结尾的最长不下降子序列长度至少为 \(l + 1\)。

不难理解 \(d\) 数组满足 \(d_i \le d_{i + 1}\)。

所以可以通过二分找到最大的满足 \(A_i \ge d_{l - 1}\) 的 \(l\)，即为 \(f(i)\)。

时间复杂度 \(O(n\ log\ n)\)。

例题

最长公共子序列

我们都会 \(O(nm)\) 的做法。但特殊的情况下，可以做到 \(O(n\ log\ n)\)。

那就是两个序列的元素在对面具有唯一对应的元素。

一个简单的例子就是求两个排列的最长公共子序列。

求 \(3, 1, 4, 2, 5\) 和 \(1, 4, 3, 2, 5\) 的最长公共子序列，等价于求 \(1, 2, 3, 4, 5\) 和 \(2, 3, 1, 4, 5\) 的最长公共子序列，而后者等价于求 \(2, 3, 1, 4, 5\) 的最长上升子序列。

例题

题面：

给定两个长度分别为 \(n, m\) 且仅由小写字母构成的字符串 \(A\)，\(B\)。

求 \(A\)，\(B\) 的最长公共子序列。

\(n \le 10^6\)，\(m \le 10^3\)

分析：

显然 \(O(nm)\) 无法通过，而且也没有前面提到的性质。怎么办呢？

两个序列的长度很不对称，这一点值得关注。

这时候就需要用到之前提到的技巧，将 dp 的值和状态进行交换。

显然最终答案不会超过较短的序列的长度，也就是不超过 \(m\)。

而 LCS 满足一定的单调性，即 \(A[1, i]\) 与 \(B[1, j]\) 的最长公共子序列长度一定不小于 \(A[1, k]\) 与 \(B[1, j]\) 的最长公共子序列长度。

故设状态 \(f(i, j)\) 为：\(A\) 与 \(B\) 前 \(i\) 位的最长公共子序列长度为 \(j\) 的前缀最短是多少（即朴素算法的答案与第一维状态对调）。

预处理 \(A\) 的每一位的下一个 \(a, b, ···, z\) 的出现位置即可 \(O(1)\) 转移。

复杂度 \(O(m^2 + 26n)\)，可以通过本题。

RaucousRockers演唱组

题目

用 \(g(i, j, k)\) 表示前 \(i\) 首歌，用 \(j\) 张唱片加 \(k\) 分钟，最多可包含的歌曲数。

当 \(k \ge l_i\) 时：

\[g(i, j, k) = max\{g(i - 1, j, k - l_i), g(i - 1, j, k)\} \]

当 \(k < l_i\) 时：

\(g(i, j, k) = max\{g(i - 1, j - 1, t - l_i), g(i - 1, j, k)\}\)

时间复杂度 \(O(nmt)\)。

还可以再优化一下吗？

\(g(i, j) = (a, b)\) 表示前 \(i\) 首歌曲中选 \(j\) 首最少需要：\(a\) 张唱片+\(b\) 分钟。

\[g(i, j) = min(g(i - 1, j), g(i - 1, j - 1) + l_i) \]

其中 \((a, b) + l_i = (a’, b’)\) 定义为：

• 当 \(b + l_i \le t\) 时：\(a' = a, b' = b + l_i\)。
• 当 \(b + l_i > t\) 时：\(a' = a + 1, b' = l_i\)。

题目所求的是：\(max(k | g(n, k) \le (m - 1, t))\)。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。