背包问题

背包问题

01背包

有 \(n\) 个物品，第 \(i\) 个物品价值为 \(w_i\)，体积为 \(c_i\)，求将哪些物品装入容量为 \(m\) 的背包可使价值最高。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品只有一件，可以选择放或不放。

朴素的考虑如何划分子问题：

那么不妨考虑按照物品来划分阶段，先考虑前 \(i\) 个物品的最优解。

显然，状态转移过程中，只知道当前考虑到第几个物品，是无法判断转移是否合法的，我们还关心剩余的容量是否足以放下这些物品。

因此定义状态 \(f(i, v)\) 表示前 \(i\) 件物品恰好放入一个容量为 \(v\) 的背包可以获得的最大价值。

那么考虑到第 \(i\) 个物品时，有哪些可能转移呢？这是一个简单的问题：

• 选这件物品。
• 不选这种物品。

因此状态转移方程为：

\[f(i, v) = max(f(i - 1, v), f(i - 1, v - c_i) + w_i) \]

其中 \(c_i\) 为代价，\(w_i\) 为价值。

时间复杂度为 \(O(nm)\)。

那么再确定初始状态，这个问题就解决了。

因为我们状态的定义为 \(f(i, v)\) 表示前 \(i\) 件物品恰好放入一个容量为 \(v\) 的背包可以获得的最大价值。所以初始状态的定义应该是：

• \(f(0, 0) = 0\)
• \(f(i, j) = -\infty(i \ne 0\ or\ j \ne 0)\)

实际上如果不要求体积恰好为 \(v\)，而是不超过 \(v\) 即可，那么初始状态可 以进行细微改动，\(f(0, *) = 0\)，即认为最初剩余容量可以为任意数。

\(\color{#A4CAE8}\large\texttt{空间优化}\)

观察状态转移方程

\(f(i, v) = max(f(i - 1, v), f(i - 1, v - c_i) + w_i)\)

发现 \(f(i, *)\) 仅从 \(f(i - 1, *)\) 转移，所以不保留更早的 \(f\) 优化空间。

用 \(f(i \& 1, *)\) 来表示 \(f(i, *)\)，空间复杂度 \(O(m)\)。

实际上数组甚至可以压缩到一维，只需要注意状态转移时的循环顺序。

\(f(v) = \max\{f(v), f(v - c_i) + w_i\}\)

每次考虑第 \(i\) 个物品时，\(v\) 按照从小到大的顺序枚举。

因为 \(v\) 只会从小于等于 \(v\) 的状态转移而来。

这样的枚举顺序保证 \(f(v - c_i)\) 在被转移时时仍处于未更新状态，即 \(f(i - 1, *)\) 的状态。

for(int i = 1; i <= n; i ++)
	for(int v = m; v >= c[i], v --)
        f[v] = max(f[v], f[v - c[i]] + w[i]);

习题1

习题2

\(\color{#078DE4}\large\texttt{多重背包}\)

有 \(n\) 种物品和一个容量为 \(m\) 的背包。第 \(i\) 种物品最多有 \(a_i\) 件可用，每件的体是 \(c_i\)，价值是 \(w_i\)。求将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。