【数学向】一些有趣/惊艳的东西

（有些东西可能很trivial，求轻D >_<）

1.简化剩余系的对称性：如果 \(x\) 在 \(n\) 的简化剩余系里，那么 \(n-x\) 也一定在 \(n\) 的简化剩余系里

（证明明天补上，大致思路是反证法）

↑这个结论是从数竞老师那偷来的，很有精神啊

2.给定正整数 \(a,n\)，如何快速求 \(\min_{i=1}^{n}(i-1)a+\lceil\frac{n}{i}\rceil\)？——syk

你把取整符号挪到最外面去 然后里面基本不等式一下
i只能取整数的话 就算一下离极值点最近的那俩 就行了——来自rin的O(1)神解法

简单解释一下：\(\min_{i=1}^{n}(i-1)a+\lceil\frac{n}{i}\rceil=-a+\min_{i=1}^{n}ia+\lceil\frac{n}{i}\rceil\)。由于当 \(s\) 为整数时 \(s+\lceil t\rceil=\lceil s+t\rceil\) 成立，故原式=\(-a+\min_{i=1}^{n}\lceil ia+\frac{n}{i}\rceil\)。由基本不等式得 \(ia+\frac{n}{i}\ge 2\sqrt{an}\)，当 \(ia=\frac{n}{i}\) 时取得等号，故极值点在 \(\sqrt\frac{n}{a}\) 附近

3.已知 \(a+a^{-1}=7\)，求 \(\frac{a^{1.5}-a^{-1.5}}{a^{0.5}-a^{-0.5}}\)。

注意到 \(a^{±1.5}=(a^{±0.5})^3\)，故可直接对分子运用立方差公式。但如果你不会立方差公式呢？

把所求式子平方再开方得到 \(\sqrt\frac{a^{3}+a^{-3}-2}{a+a^{-1}-2}\)。再将 \(a+a^{-1}=7\) 两边同时立方求出 \(a^3+a^{-3}\)，然后回带。

暴力却优雅。

4.\(n\) 是正整数，如何判断 \(n\) 是否是 \(2\) 的整次幂？

直接二进制分解？二分？小题大做

注意到 \(n\) 是 \(2\) 的整次幂意味着 \(lowbit(n)=n\)，于是可以直接判断 \(n\&(-n)=n\)

但感觉这样还是拐了个弯，有没有更简明的？

仍然从二进制入手，\(n\) 的二进制一定是 \(100……0\) 的形式，那么 \(n-1\) 的二进制一定是 \(011……1\) 的形式。则 \(n\&(n-1)=0\)，直接判断即可

5.更进一步拓展，如何判断 \(n\) 是否是质数 \(p\) 的整次幂？

直接换底公式，令 \(a=log_{x}n=\frac{ln(n)}{ln(x)}\)，判断 \(a\) 与 \((int)a\) 的差是否接近 \(0\)。\(O(1)\) 搞定！

但如果你不会换底公式呢？=.=

由于 \(p\) 是质数，所以 \(n\) 是 \(p\) 的整次幂等价于 \(n\) 是 \(p^\infty\) 的因子。求出 \(p\) 在整型范围内的最大整次幂，判断其模 \(n\) 的结果是否为 \(0\) 即可。

6.尺规作图开根：有一条长度为 \(x\) 的线段 AB，求作一条长度为 \(\sqrt x\) 的线段。

先在这条线段的左端延长出一条单位线段 CA，然后以新得到的线段 CB 为直径画圆。再做 AP 垂直于 CB 交圆于 P。由射影定理， AP = \(\sqrt n\)

7.如何证明 \(\tan 1^o\) 是无理数？

反证法，假设 \(\tan 1^o\) 是有理数，由和角公式得 \(\tan 2^o=\frac{\tan 1^o+\tan 1^o}{1-tan^21^o}\)，那么 \(\tan 2^o\) 也是有理数。以此类推，\(\tan 3^o,\tan 4^o\cdots,tan 30^o\) 均为有理数。然而 \(\tan 30^o=\frac{\sqrt3}{3}\) 是无理数，矛盾！故 \(\tan 1^o\) 是无理数

8.已知一个 \(n\) 次多项式满足 \(f(x)=\frac{1}{x}(x\in[1,n+1])\)，试求出 \(f(n+2)\)。\(n\le10^{18}\)

构造一个 \(n+1\) 次多项式 \(g(x)=xf(x)-1\)。显然它有 \(n+1\) 个实数根，分别为 \(1,2,…,n+1\)。于是我们可以把 \(g\) 写成根的形式，\(g(x)=C(x-1)(x-2)\cdots(x-n-1)\)。由 \(g(x)=xf(x)-1\) 可得 \(g\) 的常数项为 \(-1\)。故 $$

9.给定一个 0~n-1 的排列，q 次查询区间 mex。强制在线，要求线性。

嘻嘻

你发现排列的区间 mex 等价于区间外的 min。所以只需要前后缀 min 拼一下就好了。

10.是否存在两个周期函数 \(f,g\)，满足 \(f(x)+g(x)=x\)？（即将 \(f(x)=x\) 拆成两个周期函数之和）

初看这东西显得非常诡异，不过考虑到周期可能是一个无理数，也就显得没那么不可理喻了。

结论是，我们可以证明它存在，但给不出构造。

首先实数可以看做有理数上的线性空间，我们钦定某一组基的前两个数为 \(1,\sqrt 2\)。那么把 \(x\) 写成线性表示后，取 \(\sqrt 2\) 及其系数作为 \(f(x)\) 的取值，取其余部分作为 \(g(x)\) 的取值。不难发现 \(f(x)\) 有周期 \(1\)，\(g(x)\) 有周期 \(\sqrt 2\)。这有点类似同余最短路，跨越了 \(\sqrt 2\) 之后只有 \(\sqrt 2\) 的系数会增加 \(1\)，其余部分不变。

这里是证明了存在性，但我们其实永远也给不出构造，因为基是不可数的/jy

To Be Continued