LCT 学习笔记

简述

可能叫动态链剖分会比较合适？

回顾重链剖分，我们将 x 所有儿子中子树 siz 最大的那个儿子钦定为重儿子，一个结点与它的重儿子的连边称为重边，其余称为轻边。重边和轻边形成的链把整棵树剖分成了若干个 dfs 序上的连续段，这样我们就能使用诸如线段树等静态数据结构维护链上的信息了。

重剖的局限性在于它所维护的树的形态必须是静态的，在面对一些需要动态更新原树形态的问题难免乏力。于是就有了 LCT（动态树），它支持：维护一个森林，更换某棵树的根（makeroot），新建边（link），删除边（cut），修改及查询链上的信息等操作。

LCT

把边分为实边和虚边，每个结点最多有一个实儿子（可以没有实儿子）。实边连成的链称为实链，改为以每个结点的深度为关键戳用 Splay 维护实链上的信息，这样更加灵活。实链与实链之间通过虚边相连，这里采用“认父不认子”的处理方法把实链对应的 Splay 连接起来。即：将每棵 Splay 的 root 的父亲结点设为它所维护实链的链顶在原树意义上的父亲 \(x\)，但是并不更改 \(x\) 在 Splay 里的左儿子和右儿子。这样的好处在于：既保留了 Splay 本身的功能性，又能从某个结点出发还原出它到根结点的路径，从而还原原树结构。同时，Splay 可以方便地提取/分离子树，这又使得我们能够方便地切换虚实边，从而断掉一条实链，以及自底向上连接若干条实链。这些优势将在 access 操作里体现。

access

access 操作是 LCT 的核心操作，它的效果是把 \(x\) 在原树意义上到根结点的路径中的所有边都变为实边，相应地，不在路径上且连接了路径上结点的所有实边要变成虚边。它的流程是：先新建一个空结点 \(y\)，把 \(x\) splay 到根结点，将其右儿子改为 \(y\)（\(x\) 成为根结点后所有深度大于 \(x\) 的结点便都集中在了 \(x\) 的右子树里，更改右儿子相当于把 \(x\) 与其实儿子之间的实边切换为虚边，也就是断掉了 \(x\) 所在实链中更靠下的部分，并把 \(y\) 对应的实链接了上去 ）；然后令 \(y=x,x=fa_x\)（这里相当于跳到更上面的实链，继续把之前拼成的实链与上面的链拼接），重复第一步直到走到原树意义上的根结点。代码如下：

void access(int x){
	int y=0,t=x;
	//access 操作每次跳实链会把 top(y)->x 这条虚边变成实边，再把原来的 suf(x)->x 这条实边变成虚边
	while(x){
		splay(x);
		ch[x][1]=y;fa[y]=x;//同时切断 x 所在实链中更深的那一截（但保留虚父亲），并把新的实链接上 
		push_up(x);
		y=x;x=fa[x];
	}
	splay(t);
}

makeroot

在 access 操作的基础上，考虑把某棵树的根变为 \(x\) 会发生什么。设原树根为 \(r\)，换根只会使原树上 \(x\) 到 \(r\) 的简单路径上的点的深度序列翻转。由于 Splay 是以深度为关键戳维护的，所以只需要先 access(x)，然后把 \(x\) 所在 splay 整体翻转。这个也是经典操作，只需要额外维护一个懒标记。

void makeroot(int x){
	access(x);
	tag[x]^=1,swap(ch[x][0],ch[x][1]);
}

link

先把 \(x\) 所在树的根换成 \(x\)，然后连一条 \(x\to y\) 的虚边。

int findroot(int x){
	access(x);
	while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
	return x;
}

void link(int x,int y){
	if(findroot(x)==findroot(y)) return;
	makeroot(x);
	fa[x]=y;
}

cut

先判掉 \(x,y\) 没有直接连边的情况。

然后把 \(x,y\) 放在同一棵 Splay 里并让它们相邻，这个可以通过 makeroot 和 splay 操作实现

void cut(int x,int y){
	makeroot(x);
	access(y);
	if(x==ch[y][0]&&!ch[x][1]) ch[y][0]=0,fa[x]=0,push_up(y);
}

其余操作

其余操作大概都是修改和维护链上信息，可以参考 Splay 的各种操作，一般来讲 Splay 能维护的 LCT 也能维护，如 https://www.luogu.com.cn/problem/P1501 [国家集训队]Tree II。

经典例题

• 弹飞绵羊。建一个虚拟结点表示被弹飞，问题转为 Link,Cut，维护树上两点路径长度，维护一个 dep 就能做了。