了解—约数和定理

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对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,

则由约数个数定理可知n的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个，

那么n的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个正约数的和为

f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）

 

证明：若n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,

可知p1^a1的约数有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1

…

同理可知，pk^ak的约数有:pk^0, pk^1, pk^2......pk^ak ；

实际上n的约数是在p1^a1、p2^a2、...、pk^ak每一个的约数中分别挑一个相乘得来，

可知共有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)种挑法，即约数的个数。

由乘法原理可知它们的和为

f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）