数论的一些小结论

1.有两个数p,q,且gcd(q,p)=1,则最大无法表示成px+qy（x>=0,y>=0)的数是pq-q-p（对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy；而pq-q-p,就无法表示成px+qy）。

2.皮克定理说明了顶点是整点的多边形面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系：S = a + b/2 - 1。

3.一条直线((0,0),(n,m))上的格点数等于n与m的最大公约数+1。

证明：

记n,m最大公约数k,m=ak,n=bk,那么(a,b)=1
考察(0,0)到(m,n)直线上一个格点(x,y)(x>0,y>0),有:
x/y=m/n=a/b
即bx-ay=0
因gcd(a,b)=1,必有b|y,a|x,再由x≤m,y≤n,知这样的x,y有k个
加上(0,0)点，所有的格点数=k+1,得证

 

4.N! 中 质因子r的个数 为 N/ r + N/(r²) +N/(r³) + N/(r⁴)+......  

简单证明：

考虑1~N中所有r的倍数都会有一个质因子r,那么加上N/ r

所有r² 的倍数都有有2个质因子r，但是其中的一个已经在前面算过了，所以只要加上 N/(r²).

r³r⁴......也是一样的道理。

 

特别的质因子2的个数为N-N的二进制数中1的个数。(可以不断减去lowbit 来得到1的个数)

简单证明：对于二进制数为（100000）₂的N，那么利用上面的式子可以得到2的个数为（11111）₂ 比N少了1_。

对于二进制数为（100100）₂的N.可以拆成（100000）₂+（100）₂ 两个数都会减少1..

 所以在(1000....000)₂的基础上每把一个0变成1都会使结果减少1.    所以质因子2的个数为N-N的二进制数中1的个数证毕。