[NOI1995]石子合并 题解

[NOI1995]石子合并 题解

题面

这是一道区间dp经典模板题

思路

- 容易想到设数组 \(Fmax[i][j],Fmin[i][j]-->\) 表示区间 \(i\)-\(j\) 的最大最小分数

- 分析样例，考虑状态转移方程

    - Fmax[1][1]=a[1],Fmax[2][2]=a[2]
    - Fmax[1][2]=Fmax[1][1]+Fmax[2][2]+a[1-2]
      Fmax[2][3]=Fmax[2][2]+Fmax[3][3]+a[2-3]//必须在步骤3之前完成
    - Fmax[1][3]=Fmax[1][1]+Fmax[2][3]+a[1-3],Fmax[1][2]+Fmax[3][3]+a[1-3]

- 由上推理可知需先枚举一个区间，再枚举起始点，最后枚举中间值

- 状态转移方程由上可知为 \(Fmax[i][j]=max(Fmax[i][k]+Fmax[k+1][j]+a[i-j],Fmax[i][j])\)

- 同理 \(Fmin[i][j]=min(Fmin[i][k]+Fmin[k+1][j]+a[i-j],Fmin[i][j])\)

- \(a[i-j]\) 可用前缀和的形式表示为 \(s[j]-s[i-1]\)

- 由于是一个环，可以将其展开，用 \(1 - (n+n)\) 的形式

Code 如下

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int Max=2*101;
int a[Max],s[Max];
int Fmax[Max][Max];
int Fmin[Max][Max];

int main()
{
	memset(Fmax,0,sizeof(Fmax));
	memset(Fmin,0,sizeof(Fmin));
	int n;	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++)	scanf("%d",a+i),s[i]=s[i-1]+a[i],a[i+n]=a[i];
	for(int i=n+1; i<=n+n; i++)	s[i]=s[i-1]+a[i];
	for(int q=1; q<n; q++)
		for(int i=1,j=i+q; i<n+n&&j<n+n; i++,j=i+q)
		{
			Fmin[i][j]=0x7fffffff;
			for(int k=i; k<j; k++)
			{
				Fmin[i][j]=min(Fmin[i][k]+Fmin[k+1][j]+s[j]-s[i-1],Fmin[i][j]),
				Fmax[i][j]=max(Fmax[i][k]+Fmax[k+1][j]+s[j]-s[i-1],Fmax[i][j]);
			}
		}
	int max1=0,min1=0x7fffffff;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		max1=max(max1,Fmax[i][i+n-1]),
		min1=min(min1,Fmin[i][i+n-1]);//展开每一个环的最大最小值
	cout<<min1<<endl<<max1<<endl;
	return 0;
}