网络流中的最小割模型

最大全闭合子图

问题定义

最大权闭合子图（Maximum Weight Closure）问题：
给定有向图 \(G=(V, E)\)，每个顶点 \(v\) 有权值 $w_v $，求一个顶点子集 $C \subseteq V $，满足：

1. 闭合性：若 $ u \in C $ 且存在边 $ u \to v $，则 $ v \in C $。
2. 最大权值：$ \sum_{v \in C} w_v $ 最大。

网络流建模

建立源汇点 \(s,t\)，\(s\) 向正点权点 连边，容量为 \(w_u\)。负点权点向 \(t\) 连边，容量为 \(|w_u|\)。其余的点边集不变，容量 \(+\infty\)。

答案即为 \(\sum_{w_u > 0}w_u - c(S,T)_{min}\)。

证明步骤

引理 1： 最小割一定是简单割。

若存在一个最小割 \((S,T)\) 不是一个简单割，那么一定有一条割边的容量为 \(+\infty\)，一定不优。

另证，从源点连出的边都有容量，最大流一定有限，故最小割有限，与非简单割的容量为 \(+\infty\) 矛盾！

引理 2： 简单割一定与一个闭合图对应。

证明：

一、每个简单割对应一个闭合图

构造方法：
给定简单割 \((S, T)\)，定义闭合图 \(C = S \setminus \{s\}\)。

闭合性验证（反证法）：

1. 假设存在 \(u \in C\) 和边 \(u \to v \in E\)，但 \(v \notin C\) 且 \(v \neq t\)。
2. 由于 \(C = S \setminus \{s\}\)，则 \(v \in T \setminus \{t\}\)。
3. 所以 \(c(u,v)=+\infty\)，不是一个简单割，矛盾！
4. 因此假设不成立，\(C\) 是闭合的。

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二、每个闭合图对应一个简单割

构造方法：
给定闭合图 \(C\)，定义割 \((S, T)\)，其中 \(S = C \cup \{s\}\)，\(T = V \setminus S \cup \{t\}\)。

简单性验证（反证法）：

1. 假设不对应一个简单割，那么 \(c(u,v)=+ \infty\)。
2. 所以 \(u,v\) 不在一个闭合图中。
3. 与 \(C\) 是一个闭合图矛盾！
4. 因此假设不成立，\(\{S,T\}\) 是一个简单割。

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引理 3：\(C = S \setminus \{s\}\)，\(C'=V \setminus C\)，$$c({S,T}) = \sum_{u \in C' \wedge w_u > 0} w_u + \sum_{u \in C \wedge w_u<0} -w_u$$。

由简单割的定义，\(c(S,T) = c(\{s\},C') + c(\{t\},C)\)，由于从 \(s\) 连出的边到正权点，负权点连出的边到 \(t\)，故：

\[c(S,T) = \sum_{u \in C' \wedge w_u > 0} w_u + \sum_{u \in C \wedge w_u<0} -w_u \]

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引理 4：

\[\sum_{u \in C} w_u = {\sum_{u \in V \wedge w_u > 0}w_u} - c(S,T) \]

证明：

\[\sum_{u \in C} w_u = \sum_{u \in C \wedge w_u > 0} w_u - \sum_{u \in C \wedge w_u<0} -w_u \]

将该式子与引理 3 中的式子相加即可得到

\[\sum_{u \in C} w_u = {\sum_{u \in V \wedge w_u > 0}w_u} - c(S,T) \]

最大密度子图

给定无向图 \(G=(V,E)\)，求一个联通子图 \(G'=(V',E')\)，使得 \(\frac{|V'|}{|E'|}\) 的值最大。

二分答案 \(g\)，即求一个联通子图满足 \(|E'|-g|V'| \ge 0\)。

不放将每一条边看成点构造新图，边对应点的权值为 \(1\)，点的权值为 \(-g\)，且边对应点向两个点连边。

新图的最大权闭合子图即为 \(\max(|E'|-g|V'|)\)。

二分图最小权点覆盖

问题定义

二分图最小点覆盖：二分图中选最少的点，满足每一条边的两个顶点至少一个被选中。

二分图最小权点覆盖：二分图中选最少的点，满足每一条边的两个顶点至少一个被选中，且点权和最小。

网络流建模

源点向左部点连边，容量为 \(w_u\)。右部点向左部点连边，容量为 \(w_u\)。原图中边不变，容量为 \(+\infty\)。

最小割就是原图的最小权点覆盖。

证明：

引理 1：最小割一定是简单割。

证明方式同上。

引理 2：简单割与一个点覆盖对应。

一、一个点覆盖集与简单割对应。

证明：

假设 \(V_1,V_2\) 是点覆盖集的左右部点的选择，那么 \(V_1\) 与 \(s\) 相连的边设成割边，\(V_2\) 与 \(t\) 相连的点设成割边。然后从源点往下搜索，搜到的所有点放到 \(S\) 集合中，搜不到的所有点放到 \(T\) 集合中。

如此得到一个简单割。首先所有割边必然在左、右两侧，所以如果是割就一定是简单割，那么是不是一个合法的割呢，只需要看能都从源点走到汇点即可。

这里假设从源点能走到汇点，那么就必然经过了中间某一条边，说明这条边的两个点都没有在点覆盖集中，这就不是一个合法的点覆盖集，就矛盾了，由此反证得出从源点一定走不到汇点，所以构造出的是合法的简单割。

二、一个简单割与点覆盖集对应。

假设 \((S,T)\) 是简单割，那么可以构造一个点覆盖：如果割边与 \(s\) 相连，则将这个左部点选上；如果割边与 \(t\) 相连，则将这个右部点选上。

证明：假设这不是一个点覆盖集，那么存在一条边 \((u,v)\) 且 \((u,v)\) 不是割边，那么存在一条从 \(s\) 到 \(t\) 的路径，与割的定义矛盾！