集合论-集合的概念与表示

    集合没有一个确定的定义，只有一个大概的说法。

集合的概念：确定的，互不相同的事物的总体。集合概念中相关的符号大概就是 A∈B中的∈，还有等等。

集合的基数就是刻画任意集合大小的一个概念，有限集的基数就是一般所直观感受到的个数，无穷集也有基数，一般可数集合和自然数集有相同大小的基数，实数集是不可数的实数集的基数记为c，集合的基数是个数概念的推广。

    描述集合有两种方式，第一个是列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来（一般不考虑元素的前后顺序）﹐写在大括号﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}

还有一个是描述法：把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内。比如说{x | x > 0,x ∈ N }

    现在假设有集合A，用列举法写出来是这样的A：{1，2，5}那么集合a： {1}是集合A的子集，同时b {2}也是集合A的子集。所以当集合X是另外一个集合Y的子集时候，集合X中的所有的元素都可以在Y中找到，所有X中的元素都是Y的元素，同时任意集合都是自己的子集，当两个集合互为子集的时候，这两个集合相等X = Y。但集合A{1，2}。集合B为{1，2，5}时，可以称集合A为集合B的真子集，也就是A是B的子集，且AB，在进一步的解释就是B有A中所有的元素，同时B有A没有的元素。真子集是小于子集的一个概念。

    当一个集合A没有元素的时候，A： { }，空集是任意集合的子集，包括空集，同时借助于上面的概念，空集是除了空集之外所有集合的真子集，在我现在的认知范围内是这样的。但是由{组成的集合不是空集 例; A: { { } }，里面包括一个元素，是集合属性的元素 { }。

    全集是一个环境制约的概念，也就是只在特定的环境中才有效，全集就是当前环境下的最大集合。比如讨论人类的时候，人类就是最大集合，中国人是人类的子集，也可以说是真子集。但是讨论生物的时候，人类就不是全集，因为环境已经改变。生物才是全集。

    幂集合这个概念依托于某个集合，比如说集合A { 1，2 } 。集合A的幂集合2^A = { {1} {2} {1，2} }，幂集就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。幂集中的所有元素的属性是集合，幂集的元素一般是原集合元素个数的固定倍数，设A为有限集，若|A|=n，那么||=2^n。对上述结论的证明见结尾。

    同时，设 A,B 是两个集合，，那么 ，对上述结论的证明见结尾。

 

证明1：A中任取M(n=>m>=0)个元素组合成不同的子集的个数

= + Cn1 + … +Cnn(实在不知道怎么输入就是这个意思)

通过二项式定理 (a+b)^n=cn0 a^n + cn1 a^n-1(b1) +… +cnn b^n

取 a b = 1 ，Cn0 + Cn1 + … +Cnn=2^n，所以结论成立。