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为什么说“概率”带来一场现代革命?

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 严禁转载。


概率是生活中平常不过的概念。我们用概率来量化某种结果的可能性。日常生活中常见到概率。成功有概率,体育比赛的胜负有概率,彩票中奖也有概率。概率就是“概率论”这门学科研究的核心。不过,像概率这样“日常”的概念,是在16世纪文艺复兴时才成为数学家研究的课题。

 

最先研究概率论的是一位名为卡尔达诺的数学家。他研究了一个概率问题:

扔两个色子,总和为10的概率有多大?

 

扔色子这个游戏,大家常玩。色子是一个方块,六个面各有一个数字,从1到6。扔出去一个色子,那么出现六个面中任意一个面的概率相同,因此每种结果的概率就是1/6。

 

扔两个色子算总数时,总数概率就不一样了。直觉上来说,总数为2的概率会很小。只有两个骰子都为1这一种结果时,总数才能为2。我们把这样的两个色子的结果记成(1,1)。总数为10的概率要高一些,包括了(5,5)、(4,6)、(6、4)三种结果。在桌游《卡坦岛》中,每块儿土地有一个从2到12的数字。玩家通过扔两个色子决定那块儿土地产出资源。从下图看到,7号包含的结合总数,比2号大得多。在总共36种结果中,总数7对应了6种结果,概率是6/36,大约是16.7%。总数2只对应了1种结果,所以概率就是1/36,大约为2.8%。


卡坦岛的结果

 

我们看到,两个色子的概率问题解决起来很容易,根本不需要高深的数学知识。但这个问题直到16世纪才被卡尔达诺搞明白。当时正值 “文艺复兴”的时代。卡尔达诺的父亲,就是“文艺复兴”最著名画家达·芬奇的朋友。欧洲掌握了火药和印刷术,即将走入现代。放眼世界,哥伦布已经发现了美洲。中国进入到倒数第二个封建王朝:大明。日本已经结束了战国,进入最后一个幕府时代,也就是江户幕府。经过两千年的发展,数学家已经发明了非常复杂的数学工具:欧氏几何、代数方程、三角函数。诡异的是,看起来简单的概率论,到了这么晚的时间才诞生。

公元前300年就诞生的欧式几何
 

概率论诞生得晚,有一种技术性的解释:古代人制造色子的技艺不精。就拿古罗马人来说,根本就没有六个面方方正正的色子。人们赌博时用的,都是动物身上略显方正的关节骨,比如猪肘的骨头。由于表面不规则,不同结果出现的概率起伏很大,概率问题根本无从研究。然而,古人在金属加工方面的水平并不算低。既然能造出精美无双的首饰,那就完全有能力制作一个均匀的色子。因此,这个纯粹技术性的解释很难服众。

 

概率论诞生的根本阻碍,其实在于信仰。古人认为,事情的结果是神的安排。生意成功时,认为得到了财神保佑。地震发生,认为是触怒了老天。正是基于这样的信念,古人才会用求签和抽牌的随机方式,来窥探天意。抱着这样的信念,所谓的概率研究不但荒谬,而且有亵渎神灵的嫌疑。就以欧洲为例,从古罗马末期到文艺复兴,基督教拥有的权力甚至超过了国王。基督教认为上帝全知全能,安排了一切事情的结果。如果有个数学家宣称,数字就能代表结果的可能性,那上帝可真要无处安放了。

 

文艺复兴正是以理性挑战神权的时代,为随后的宗教改革奠定了基础。欧洲正是经过了文艺复兴洗礼,才摆脱了宗教的束缚。所以,概率论的诞生,必须以文艺复兴这样一场思想解放为前提。卡尔达诺解决的概率问题非常简单。他甚至在现代初中生就能解答的问题上犯错,比如“扔3个色子,至少出现一次6的概率”。但他无疑引领了一次思想革命。数学家自己也意识到概率论思想的危险性。卡尔达诺在表述概率想法时就小心翼翼,并且明确表示不能排除上帝的作用。事实上,在卡尔达诺逝世几十年后,伽利略重拾色子问题时,也在论文里尽量避免“概率”和“随机”之类的字眼。

 

无论如何,概率诞生了。为了赢钱,赌徒们可不在乎上帝。他们开始拿着赌场的问题求助于数学家。早期的概率问题就和赌博结下了不解之缘。费马和帕斯卡两位数学家就联手解决了一系列的赌博问题。其中一个有名的问题,是在一场未完成的赌局中,赌徒应该怎样分赃。拿一个简单的例子来说明。两个赌徒摇两次色子,约定以两次色子总和来比大小定输赢。第一轮,有人摇出5,另一个人摇出1。摇出5的人欢欣雀跃,摇出1的虽然沮丧但也盼着下一轮来翻盘。如果这个时候赌局停止,两人应该怎样分钱才公平。平分当然不公平。在第一轮已经完成的情况下,摇出5的赌徒应该有更大概率赢得第二轮。因此,这个人会期望自己分到更多的钱。

 

赌场的概率问题

 

费马和帕斯卡通过数学计算了每种结果出现的概率,再用概率来计算出每个人应该分到的钱。通过特定的数学方法,人们可以计算出对未知的“期望”。“期望”很快应用在兴旺的航海业中。当时的西欧国家都在全面投机航海业。帆船从亚洲、美洲、非洲运来大量货物,创造着巨额利润。可如果船沉了,投资人的钱就全亏了。有了“期望”这样的概率工具,商人可以计算出预期收益,最终决定入股哪艘航船。可以说,两位数学家为“股权投资”这一现代金融形式铺平了道路。 说到底,概率论研究的是未发生的事情。在盈利性投机的金融活动中,越多了解未来,就越能赚钱。


既然能赚钱,上帝就不那么重要了。商人们聚集在阿姆斯特丹、巴黎和伦敦的交易所,狂热地用数字来揣摩上帝对未来的安排。在投入实用的同时,概率依然充满了神秘色彩。在概率计算的第一步,数学家依然在使用经验性的假设,却无法说清为什么。为什么均匀色子一个面的结果和另一个面的色子相同?为什么硬币证明的概率是1/2?这些看似简单的问题,却涉及到了概率本质,甚至威胁到概率论的进一步发展。在这个危机关头,数学家又一次出手,挽救了概率论。

 

雅克布·伯努利是来自伯努利家族的“数二代”。伯努利提出了 “大数定律”。伯努利认为,在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率近似于它的概率。换句话说,伯努利用频率解释了概率。如果你确定色子抛出1的概率,那就成千上万次地扔出色子,并记录结果1占总实验次数的比例。 “大数定律”去处了概率最后一分“玄学”色彩,让概率变成了像物理化学那样的实验学科。

 

在日常生活中,我们会在潜意识中把“频率”和“概率”联系起来。常听说东京地震的新闻,却不常听说上海地震,那上海地震的概率自然比东京的高。伯努利只是用严格的数学语言,更清楚地说明了“频率”和“概率”的关系。但千万不要小看“大数定律”。以这条数学定律为基础,概率论的大厦才能继续施工。这里举一个简单的应用,就是计算圆周率。一个半径是1的圆,它的面积就是圆周率。这个数字从3.1415926……开始,小数点后会有无限位。中国数学家祖冲之的伟大成就,就是通过复杂的几何方法,计算出了圆周率的后面的第七位。

 

但根据“大数定律”,我们可以用一种玩游戏的方法算出圆周率。我们找一个正方形的场地围起来。正方形变长是2。正方形中再画一个半径为1的内切圆,如下图所示。我们往这个场地中随机地丢沙包,并记下圆形中沙包和扔出沙包总数的比值。当我们扔越来越多沙包时,比值就会越来越趋近于圆周率的1/4。也就是说,困扰古人数千年的圆周率计算问题,可以通过丢沙包来算出无限高的精度。

扔沙包的场地

“丢沙包计算圆周率”的方式之所以成立,就在于“大数定律”。沙包会随机地出现在场地的任意一点,那沙包入圆的概率是圆形面积和方形面积的比值,也就是圆周率的1/4。另一方面根据“大数定律”,当我们扔的沙包越来越多的时候,结果中沙包成功进入到圆形的频率,会越来越趋近该情况的概率。因此,我们最终用扔沙包获得的频率,获得了包含在概率中的圆周率。 祖冲之的时代还没有概率的思想,想不到用这种简单的方法来计算圆周率。另一方面,这种名为“蒙特卡罗方法”的计算方式,已经是天气预报、金融博弈、航天器设计等领域不可或缺的工具。

 

如今,概率论已经是中学时就会接触的数学知识。但概率论的简单公式,记载了一场思想革命。在这场革命中,沉默的数学家用数字向上帝宣战,把“未来”从上帝那里转交到每个人的手上。这场革命不但改变了社会的面貌,也彻底改变了人的思想。

 
posted @ 2018-03-04 22:28 Vamei 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏