【2020 杭电多校第四场】Go Running 最小点覆盖

Go Running

题意

现在有好多人在坐标轴上跑步，没有固定的起点，每个人可以随机出现在坐标轴上，他们移动的方式是固定的，给出 n 个时间和坐标的对应，表示在这个时间，这个位置最少有 1 个人，问现在跑步的最少有多少个人。

思路

比赛的时候一想哪些人可能是同一个人？x + t 或者x - t 相同的地方，有可能是同一个人。

我们把 x + t 相同的放在一起，x - t 相同的放在一起。

这时就是选择数量最小的 x - t , x + t ，覆盖所有的点，然后就懵了。。。

做这题总有一种熟悉的感觉，但就是不知道哪熟悉。

按照我的思路这就类似于最小集合覆盖问题，唯一的区别是一个点被两个集合覆盖。

正解是二分图。

参考博客2020杭电多校第四场 1007 Go Running Dinic最大流跑二分图匹配

今天看了看博客，又重新看了点覆盖的定义。

点覆盖，在图论中点覆盖的概念定义如下：对于图G=(V,E)中的一个点覆盖是一个集合S⊆V使得每一条边至少有一个端点在S中。

现在我们选择最少的 x - t 和 x + t ，使得 n 个点都和它们有关系，就是最小点覆盖，每个点的 x - t 和 x + t 一定要存在一个，x - t 和 x + t 相连建好边之后，形成的最小点覆盖，就满足条件。

H-K算法 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fuck system("pause")
#define emplace_back push_back
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e5 + 10;
int boy[N], girl[N], disx[N], disy[N], used[N];

vector<int> xiao[N], vec1,vec2;
int getid1(int x){
    return lower_bound(vec1.begin(), vec1.end(), x) - vec1.begin() + 1;
}
int getid2(int x){
    return lower_bound(vec2.begin(), vec2.end(), x) - vec2.begin() + 1;
}
struct node{
    int t, pos;
} arr[N];
int n, m, dis;
bool search()
{
    for (int i = 1;i<=n;i++){ 
        disx[i] = disy[i] = -1;
    }
    queue<int> q;
    dis = inf; 
    for (int i = 1; i <= m; i++) 
    {
        if (boy[i] == -1) {
            q.push(i);
            disx[i] = 0; 
        }
    }
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); 
        q.pop();
        if (disx[u] > dis)
            continue;
        for (int i = 0; i < xiao[u].size(); i++) 
        {
            int v = xiao[u][i];
            if (disy[v] == -1) 
            {
                disy[v] = disx[u] + 1; 
                if (girl[v] == -1) 
                    dis = disy[v]; 
                else {
                    disx[girl[v]] = disy[v] + 1; 
                    q.push(girl[v]);
                }
            }
        }
    }
    return dis != inf;
}
int find(int x)
{
    for (int i = 0; i < xiao[x].size(); i++) {
        int v = xiao[x][i];
        if (used[v] == 0 && disy[v] == disx[x] + 1) 
        {
            used[v] = 1;
            if (girl[v] != -1 && disy[v] == dis)
                continue; 
            if (girl[v] == -1 || find(girl[v])) 
            {
                girl[v] = x;
                boy[x] = v;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int match()
{
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n;i++){
        boy[i] = girl[i] = -1;
    }
    while (search()) 
    {
        for (int i = 1;i<=n;i++)
            used[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++) 
        {
            if (boy[i] == -1)
                ans += find(i);
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    // freopen("D:\\G.in","r",stdin);
    // freopen("D:\\my.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        vec1.clear(), vec2.clear();
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n;i++){
            xiao[i].clear();
            scanf("%d%d", &arr[i].pos, &arr[i].t);
            vec1.pb(arr[i].pos - arr[i].t);
            vec2.pb(arr[i].pos + arr[i].t);
        }
        sort(vec1.begin(), vec1.end()), sort(vec2.begin(), vec2.end());
        vec1.erase(unique(vec1.begin(), vec1.end()), vec1.end());
        vec2.erase(unique(vec2.begin(), vec2.end()), vec2.end());
        m = n;
        for (int i = 1; i <= n;i++){
            int x = getid1(arr[i].pos - arr[i].t);
            int y = getid2(arr[i].pos + arr[i].t);
            xiao[x].pb(y);
        }
        int ans = match();
        printf("%d\n", ans);
    }
    // fuck;
    return 0;
}