随笔分类 - 数学探究
摘要：我们在普通的几何学研究中，通常面对的都是整数维的图形，如一维的线、二维的面、三维的体。然而在1918年，德国的数学家豪斯多夫（Hausdorff）提出了“分数维”的概念。半个世纪以后，法国的数学家芒德布罗（D. Mandelbrot）创造出了分形（fractal）一词，词根是拉丁语fractus（破
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摘要：在圆周上独立地随机选取n个点，那么这n个点可以被半圆周覆盖的概率是多少呢？我们可以先思考这样的一件事，如果我们已经选取了n-1个点，且这n-1个点可以被半圆周覆盖。我们可以将这n-1个点与圆心连线，得到n-1条线段（如图一），我们不妨把这n-1条线段所成夹角的最大值记为\(α_{n-1}\)。延长形
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摘要：例：设 f(x) 在 [a, b] 上可微, 且 f′∈R([a, b]), 则存在M，对于任意x,y∈[a, b]使得 $ |f(y)-f(x)|≤M|y-x|^{1/2}$ 法1：令\(M=(∫^b_a|f'(t)|^2dt)^{1/2}\) $ |f(y)-f(x)|=|∫^y_xf'(t)d
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摘要：设f(x)和g(x)都在[a,b]上可积，则 $[∫_a^bf(x)g(x)dx]^2≤∫_a^bf^2(x)dx∫_a^bg^2(x)dx$ 证明；对于任意的实数t，显然\([tf(x)+g(x)]^2在[a,b]上可积，且tf(x)+g(x)]^2≥0\)，则 $[∫_a^b[tf(x)+g(x
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摘要：\(设a_n=1/n^q，S_n=a_1+a_2+...+a_n，\) 当q=1时，取ε=1/2，则\(lim_{n→∞}sup_{p>0}|S_{n+p} -S_n|≥S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}≥1/2>0\)
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摘要：设f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积且不变号，则存在ξ∈[a,b]，使得 $∫^b_af(x)g(x)dx=f(ξ)∫^b_ag(x)dx$ 证明：不妨设g(x)≥0，因为f(x)在[a,b]上连续，故有最大值M和最小值m，于是在[a,b]上有 $mg(x)≤f(x)g(x)≤M
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摘要：1) 首先证明i)推ii)成立 \(|A||A^{-1}|=1，且A和A^{-1}均为整矩阵，即|A|和|A^{-1}|均为整数，则|A|=±1.\) 再证明ii)推i)成立 \(设A的伴随矩阵为A*，由A为整矩阵得A*也为整矩阵，A^{-1}=|A|^{-1}A*，显然A^{-1}也为整矩阵\)
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摘要：在处理矩阵问题时，可由矩阵可逆向一般情况推广。 例：设A、B都是n阶矩阵，证明|kI-AB|=|kI-BA|。 证明：若A可逆，则\(|kI-AB|=|A^{-1}||kI-AB||A|=|kI-BA|\) 一般地，令f(x)=|kI-(A+xI)B|，g(x)=|kI-B(A+xI)| 由行列式的
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摘要：Cauchy中值定理：设函数f(x)和g(x)均在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且对任何x∈(a,b)均有g'(x)≠0，则存在ξ∈(a,b)，使得\(\frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\) 证明：在所假设的条件下，g(a)≠g(b
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摘要：首先引入Fermat引理：设函数f(x)在点\(x_0的某个邻域N(x_0,δ)中有定义，在点x_0可导，且有\) $f(x)≤f(x_0)(或f(x)≥f(x_0)),x∈N(x_0,δ)$ 则\(f'(x_0)=0\) Rolle中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且
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摘要：Riemann函数：当x为无理数时，R(x)=0。当x=p/q，p∈Z，q∈N*，(p,q)=1，R(x)=1/q。 任意\(x_0∈(0,1)，lim_{x→x_0}R(x)=0\) 证明：反证。若存在\(x_0∈(0,1)，lim_{x→x_0}R(x)≠0\) 则对于任意的ε＞0，当R(x)≥
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摘要：由欧拉公式，\(x^n-1在复数域上的n个解为x_k=e^{i(\frac{2kΠ}{n})}\)，k=0,1,2,.....,n-1 其中\(x_k=cos\frac{2kΠ}{n}+isin\frac{2kΠ}{n}，k=0,1,2,.....,n-1\) \(x^n-1\)在复数域上的标准分解
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摘要：设数列\({x_n}\)满足a≤\(x_n\)≤b，将区间[a,b]二等分，用\([a_1,b_1]\)表示含有\({x_n}\)中无穷多项的一半区间（若两个半区间均含有\({x_n}\)中的无穷多项，则任取其中一部分作为\([a_1,b_1]\)），并取\(x_{n_1}∈[a_1,b_1]\)。
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摘要：Cauchy数列：设\({x_n}\)为一数列，如果对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N，使得 $|x_m-x_n|＜ε，∀m,n＞N$ 则称\({x_n}\)为Cauchy数列。 Cauchy收敛准则：数列\({x_n}\)收敛的充分必要条件是它是Cauchy数列。 证明：先证必要性，设\({x_
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摘要：设\(lim_{n→∞}x_n=A,y_n=\frac{1}{n}(x_1+x_2+.....+x_n)，证明lim_{n→∞}y_n=A\) 对于任意给定的ξ＞0，存在正整数N，使得\(|x_n-A|＜ξ\)，∀n＞N 则\(|y_n-A|=\frac{1}{n}|(x_1-A)+(x_2-A)+
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摘要：对于任意正整数n，由Bernoulli不等式有 \(\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{n^n(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{2n+1}}\) \(=(\frac{n^2+2n}{(n+1)^2})^n\frac{n+2}{n+1}\) \(=(1-\frac{1}{n^2+
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摘要：证明：对于任意给定的ε＞0，令\(\sqrt[n]{a}-1=y_n，y_n＞0\) \(\sqrt[n]{a}=1+y_n\) \(a=1+ny_n+C^2_ny_n^2+.....+y_n^n＞1+ny_n\) \(y_n＜\frac{a-1}{n}\) \(\sqrt[n]{a}-1=y_n＜
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摘要：由定义，\(e=lim_{n→+∞}(1+\frac{1}{n})^n\) \((1+\frac{1}{n})^n=C^0_n+\frac{C^1_n}{n}+\frac{C^2_n}{n^2}+.....+\frac{C^n_n}{n^n}\) \(=1+\frac{n}{n*1!}+\frac{
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摘要：假设Π=a/b，我们定义（对某个n）： \(f(x) = \frac{x^n(a-bx)^n }{ n!}, F(x) = f(x) + ... + (-1)^j f^{2j}(x) + ... + (-1)^nf^{2n}(x)\) 于是f和F有如下性质: （1)f(x)是一个整系数多项式除以n!
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摘要：众所周知，任意有理数均可写为两互质整数的比，即\(∀x∈Q，∃ m,n∈Z，且m与n互质，满足x=\frac{m}{n}。\) 若√2为有理数，设存在互质整数m、n，满足\(√2=\frac{m}{n}，即2n^2=m^2\)，显然m为偶数。 不妨设m=2k，k∈Z，所以\(2n^2=m^2=4k^
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