矩阵和向量的思考（线代的本质观后感？）

线性代数

线性代数的起源是线性方程的求解，重点是代数二字。但是，通过把定义的一些规则（如矩阵的运算法则）和几何空间中的规则对应起来，就可以从几何的角度理解矩阵和向量，能更直观地了解线性代数地本质。

向量

1. 向量可以从三种角度看待：
   • 物理：空间中有固定方向+长度的箭头。
   • 计算机：有序的数字列表。
   • 数学：任何相加和数乘有意义的东西。
2. 标量叫scalar,是用来scale即缩放vector的(很多东西还是英语理解得更直观啊)。
3. vector的每个坐标元素都可以看成标量，缩放基向量。即向量可以看成对基向量线性组合的一个记录。
   

线性变换

1. 线性变换中的变换即函数（映射）：输入一个vector，输出一个vector。空间经过线性变换后直线还是直线，原点不变，即网格线保持平行且等距分布。
2. 线性变换只需要知道基向量的坐标，因为向量间的线性组合的关系不变。
   

矩阵及行列式

1. 线性变换的信息可以由基向量为列所构成的矩阵表示。将变化后的i和j的坐标作为一个矩阵的列
   
   
2. 两个矩阵相乘的几何意义等于两个线性变换相继作用，从右往左读
   
3. 行列式的绝对值代表线性变换(行列式对应的矩阵表示)后空间中面积（体积）的缩放比例，正负表示空间的方向（右手法则），0表示降维了（从体到面，面到线）
4. \(A^{-1}*A=E\) ,一个都不做的矩阵，即列向量对应的i，j，k不变
   5.未知数和等式数量一样的线性方程组等效于位置向量经线性变换为另一个向量，求解就是将已知向量通过逆变换恢复成原向量（降维了信息丢失不可逆，但可能有解，比如空间变压缩为一条线，右侧向量刚好在线上）
5. 所有可能变换(AX=V,x为点线面)的集合叫做列空间
6. 秩rank代表线性变化后列空间（矩阵的列所张成的空间）的维数
7. 变换后落在原点的向量集合叫矩阵的零空间，也是齐次线性方程组的所有解（右侧是零向量，表示变化后变为零向量）
8. 点积里所说的向量投影可以看成线性转换为在平面上的一条数轴
   
9. 对偶性：多维空间到数轴的线性转换都和该空间中的一个向量有关，相当于和此向量点乘

基坐标与坐标变换的疑惑与思考

线性空间中的基（极大无关组）都是等价的，即基之间可以互相线性表示。
\begin{Bmatrix}
\xi_{1}'= &p_{11}\xi_{1} + p_{21}\xi_{2} + \cdots + p_{n1}\xi_{n}\\
\xi_{2}'= & p_{12}\xi_{1} + p_{22}\xi_{2} + \cdots + p_{n2}\xi_{n}\\
&\vdots\\
\xi_{n}'= & p_{1n}\xi_{1} + p_{2n}\xi_{2} + \cdots + p_{nn}\xi_{n}
\end{Bmatrix}
可以看到\(\begin{bmatrix}p_{1i} & p_{2i} & \cdots & p_{ni}\end{bmatrix}^T\)是\(\xi_{i}'\)在基\(\xi_{1},\xi_{2}\cdots\xi_{n}\)下的坐标

（Latex太难用了，网页生成的还不能直接复制到博客园上，有空再写。。。）