dp 杂题选做

区间dp

考虑设 \(f[i][j]\) 表示区间 \([l,r]\) 合并过的值

枚举断点当 \(f[l][k]==f[k+1][r]\) 且都有值的时候可以合并出 \(f[l][k]+1\)

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inl inline
#define gc getchar
#define pc putchar
const int N=305;
const int M=1e5+5;
const int inf=0x7fffffff;
const int mod=998244353;
const double eps=1e-8;
inl int read(){
    int x=0,f=1;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=gc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
    return x*f;
}
inl void write(int x){
    if(x<0){pc('-');x=-x;}
    if(x>9)write(x/10);
    pc(x%10+'0');
}
inl void writei(int x){write(x);pc(' ');}
inl void writel(int x){write(x);pc('\n');}
int n,a[N],f[N][N],ans;
signed main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i][i]);
    for(int len=2;len<=n;len++){
        for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
            int r=l+len-1;
            for(int k=l;k<r;k++){
                if(f[l][k]==f[k+1][r]&&f[l][k]){
                    f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+1);
                    ans=max(ans,f[l][r]);
                }
            }
        }
    }
    writel(ans);
    return 0;
}

P3205 [HNOI2010] 合唱队

设 \(f[l][r][0/1]\) 表示排成 \(a[l-r]\) 队形的方案且上一个排进来的是左/右

那么只能从 \([l+1,r]\) 或 \([l,r-1]\) 转移（因为只会加到左/右）

判一下左右与当前点的大小关系即可

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inl inline
#define ll long long
#define int ll
const int N=1e3+5;
const int M=1e6+5;
const int inf=0x7fffffff;
const int mod=19650827;
inl int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return x*f;
}
inl void write(int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
inl void writei(int x){write(x);putchar(' ');}
inl void writel(int x){write(x);putchar('\n');}
int n,a[N],f[2][N][N];
signed main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)f[0][i][i]=0,f[1][i][i]=1;
    for(int len=2;len<=n;len++){
        for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
            int r=l+len-1;
            f[0][l][r]=(f[0][l][r]+(a[l+1]>a[l])*f[0][l+1][r]+(a[r]>a[l])*f[1][l+1][r])%mod;
            f[1][l][r]=(f[1][l][r]+(a[l]<a[r])*f[0][l][r-1]+(a[r-1]<a[r])*f[1][l][r-1])%mod;
        }
    }
    writel((f[0][1][n]+f[1][1][n])%mod);
    return 0;
}

背包

P1941 [NOIP2014 提高组] 飞扬的小鸟

细节有点多。

发现跳/不跳/跳几次类似背包的选/不选

设 \(f[i][j]\) 代表调到第 \(i\) 列高度为 \(j\) 的最小步数

那么类似01背包的：

\[f[i][j]=\min(f[i][j],f[i-1][j-up[i-1]]+1) \]

\[f[i][j]=\min(f[i][j],f[i-1][j+down[i-1]]) \]

类似完全背包的：

\[f[i][j]=\min(f[i][j],f[i][j-up[i-1]]+1) \]

对于跳的时候顶到上方的情况特殊处理一下

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inl inline
#define ll long long
const int N=1e4+5;
const int M=1e3+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mod=19650827;
inl int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return x*f;
}
inl void write(int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
inl void writei(int x){write(x);putchar(' ');}
inl void writel(int x){write(x);putchar('\n');}
int n,m,k,f[N][M],up[N],down[N],top[N],flr[N],p,l,h,cnt,mi;
signed main(){
    n=read();m=read();k=read();
    for(int i=0;i<=n-1;i++)up[i]=read(),down[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)top[i]=m+1,flr[i]=0;
    while(k--){
        p=read();l=read();h=read();
        top[p]=h,flr[p]=l;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    for(int i=0;i<=m;i++)f[0][i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=up[i-1];j<=m;j++)f[i][j]=min(f[i-1][j-up[i-1]]+1,f[i][j-up[i-1]]+1);
        for(int j=m+1;j<=m+up[i-1];j++)f[i][m]=min(f[i][m],min(f[i-1][j-up[i-1]]+1,f[i][j-up[i-1]]+1));
        for(int j=1;j+down[i-1]<=m;j++)f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j+down[i-1]]);
        for(int j=1;j<=flr[i];j++)f[i][j]=inf;
        for(int j=top[i];j<=m;j++)f[i][j]=inf;
        mi=inf;
        for(int j=1;j<=m;j++)mi=min(mi,f[i][j]);
        if(mi==inf){puts("0");writel(cnt);return 0;}
        cnt+=(bool)(top[i]^(m+1));
    }
    puts("1");writel(mi);
    return 0;
}

计数dp

P6146 [USACO20FEB] Help Yourself G

设 \(f_i\) 表示取到前 \(i\) 条线段的答案

考虑两种情况：

不选：答案不变 \(f_{i-1}\)
选：与前面连上答案还是 \(f_{i-1}\) 没连上的情况一定是满足所有线段右端点都在这条线段左边的所有子集为 \(2^x\)

\(x\) 前缀和求一下即可

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define inl inline
#define int ll
const int N=1e6+5;
const int M=1e5+5;
const int mod=1e9+7;
inl int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return x*f;
}
inl void write(int x){
    if(x<0){x=-x;putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
inl void writei(int x){write(x);putchar(' ');}
inl void writel(int x){write(x);putchar('\n');}
int n,f[N],sum[N],ans;
struct node{
    int l,r;
    friend bool operator<(node a,node b){return a.l<b.l;}
}a[N];
inl int qpow(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
signed main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]={read(),read()};
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[a[i].r]++;
    for(int i=1;i<=(n<<1);i++)sum[i]+=sum[i-1];
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=((f[i-1]<<1)+qpow(2,sum[a[i].l-1]))%mod;
    writel(f[n]);
    return 0;
}

数位dp

P4999 烦人的数学作业

题意：给出一个区间 \(L\) ~ \(R\) ，求 \(L\) 到 \(R\) 区间内每个数的数字和，如123这个数的数字和为1+2+3=6。

实际上就是在求 \(L\) 到 \(R\) 区间内 \(1\) ~ \(9\) 出现次数 * 每个数字的值 \([l,r]\) 答案可以用 \([1,r]-[1,l-1]\) 求出

数位dp即可

(这题可以不管前导0 因为0对答案无贡献)

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inl inline 
#define int ll
#define gc getchar
#define pc putchar
const int N=1e4+5;
const int M=2e3+5;
const int inf=0x7fffffff;
const int mod=1e9+7;
inl int read(){
    int x=0,f=1;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=gc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
    return x*f;
}
inl void write(int x){
    if(x<0){pc('-');x=-x;}
    if(x>9)write(x/10);
    pc(x%10+'0');
}
inl void writei(int x){write(x);pc(' ');}
inl void writel(int x){write(x);pc('\n');}
int t,l,r,f[22][2][22][12],num[12],ans;
int dfs(int pos,int lim,int sum,int x){
    if(!pos)return sum;
    if(~f[pos][lim][sum][x])return f[pos][lim][sum][x];
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=9;i++){
        if(lim&&i>num[pos])break;
        ans=(ans+dfs(pos-1,lim&&(i==num[pos]),sum+(i==x),x))%mod;
    }
    return f[pos][lim][sum][x]=ans;
}
inl int solve(int x,int k){
    int pos=0;
    memset(f,-1,sizeof(f));
    while(x){
        num[++pos]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(pos,1,0,k);
}
signed main(){
    t=read();
    while(t--){
        l=read();r=read(),ans=0;
        for(int i=1;i<=9;i++)
            ans=(ans+((solve(r,i)-solve(l-1,i)+mod)%mod)*i%mod)%mod;
        writel(ans);
    }
    return 0;
}

P2657 [SCOI2009] windy 数

考虑在状态里存一个pst 表示上一位的数是啥

剩下的就一样了 ans记得初始化

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inl inline 
#define gc getchar
#define pc putchar
const int N=1e4+5;
const int M=2e3+5;
const int inf=0x7fffffff;
const int mod=1e9+7;
inl int read(){
    int x=0,f=1;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=gc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
    return x*f;
}
inl void write(int x){
    if(x<0){pc('-');x=-x;}
    if(x>9)write(x/10);
    pc(x%10+'0');
}
inl void writei(int x){write(x);pc(' ');}
inl void writel(int x){write(x);pc('\n');}
int t,l,r,f[12][2][2][22],num[12],ans;
int dfs(int pos,int lim,int zero,int pst){
    if(!pos)return !zero;
    if(~f[pos][lim][zero][pst])return f[pos][lim][zero][pst];
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=9;i++){
        if(lim&&i>num[pos])break;
        if(!zero&&abs(i-pst)<2)continue;
        ans+=dfs(pos-1,lim&&(i==num[pos]),zero&&!i,i);
    }
    return f[pos][lim][zero][pst]=ans;
}
inl int solve(int x){
    int pos=0;
    while(x){
        num[++pos]=x%10;
        x/=10;
    }
    memset(f,-1,sizeof f);
    return dfs(pos,1,1,20);
}
signed main(){
    l=read();r=read();
    writel(solve(r)-solve(l-1));
    return 0;
}

P4317 花神的数论题

设 \(f_i\) 表示 \(sum(i)\) 的数量那么等价与求 \(\prod^{n}_{i=1}i^{f_i}\)

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inl inline 
#define int ll
#define gc getchar
#define pc putchar
const int N=1e4+5;
const int M=2e3+5;
const int inf=0x7fffffff;
const int mod=10000007;
inl int read(){
    int x=0,f=1;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=gc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
    return x*f;
}
inl void write(int x){
    if(x<0){pc('-');x=-x;}
    if(x>9)write(x/10);
    pc(x%10+'0');
}
inl void writei(int x){write(x);pc(' ');}
inl void writel(int x){write(x);pc('\n');}
int n,f[55][2][55][55],num[55],ans=1;
inl int qpow(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int dfs(int pos,int lim,int sum,int x){
    if(!pos)return sum==x;
    if(~f[pos][lim][sum][x])return f[pos][lim][sum][x];
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=1;i++){
        if(lim&&i>num[pos])break;
        ans+=dfs(pos-1,lim&&(i==num[pos]),sum+i,x);
    }
    return f[pos][lim][sum][x]=ans;
}
inl int solve(int x){
    int pos=0;
    while(x){
        num[++pos]=x&1;
        x>>=1;
    }
    memset(f,-1,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=pos;i++)
        ans=ans*qpow(i,dfs(pos,1,0,i))%mod;
    return ans;
}
signed main(){
    n=read();
    writel(solve(n));
    return 0;
}

posted @ 2023-11-06 20:28 xiang_xiang 阅读(5) 评论(0) 收藏举报

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