葱油饼

https://qoj.ac/problem/17645

\(\mathcal O(n^{4.5}\log^{1.5}n)\) 做法

做了整整两天，至少十个小时，为啥我感觉这个题这么难啊？？？

update：好像确实有一万个简单做法，我怎么一个都没想到

描述一下最后的做法。

首先我们可以用前 \(2n-1\) 次询问（袋子）直接让每个人知道自己的编号。做法很简单：每个人吃掉自己能吃的第一个饼，最后一个人接收到的袋子中 \(0\) 的个数就是他的编号。这个的道理是，考虑到 \(0\) 的个数就是前面的人吃掉的饼个数，因此不会超过编号，而经过 \(2n-1\) 轮之后，可以保证前 \(n-1\) 个人都恰好吃了一个饼（因为每个口味出现次数不超过 \(n\)），所以恰好等于编号。

所有人都知道编号以后，我们就可以在全局规划一个统一的传信息的策略。问题大概是这样的：用 \((x,c)\) 表示接下来出现的第 \(c\) 个 \(x\)，则我们需要为每个 \(p_i\) 找到至少 \(\lceil \log_2 n\rceil\) 个不同的 \((x,c)\)，满足 \(x\neq p_i\)，并规定这些 \((x,c)\) 用来描述 \(p_i\) 这个值所在的位置。

考虑到只需要传出去 \(n-1\) 个 \(p_i\) 的正确位置，剩下的一个自然就确定了，因此可以挑选一个 \(p_i\) 不占用任何 \((x,c)\)。显然，剩下的饼中等于 \(p_i\) 的越多 \(p_i\) 就越难找到匹配，不妨直接 ban 掉某一个最多的。

可以用 Hall 定理证明，在上述前提下对于任意 \(n\ge 2\) 的情况总能构造出来一个匹配，使得每个 \(p_i\) 都能找到 \(n-1\)（\(n-1\) 总不小于 \(\lceil \log_2 n\rceil\)）个满足要求的 \((x,c)\)。用 Dinic 跑出来一组即可。