Bot Friends 2 / Opening Portals

问题：一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图 \(G\) 上有 \(k\) 个关键点 \(v_1,v_2,\dots,v_k\)。用所有关键点建一张新图 \(G'\)，对于两个关键点 \(v_i,v_j\)，在它们之间连一条权值为 \(dis_G(v_i,v_j)\) 的边。求 \(G'\) 的最小生成树。

对于 \(G\) 中每一个点 \(u\)，设 \(dis_u\) 为离 \(u\) 最近的关键点到它的距离，\(p_u\) 为这个关键点的编号。如果有相等的情况取编号较小的。

结论：对于 \(G\) 中的每一条边 \(e=(u,v)\)，在 \(p_u,p_v\) 之间连一条权值为 \(dis_u+dis_v+w_e\) 的边，在得到的图上跑 MST 就是答案。

证明（看起来是对的）：

考虑 Kruskal 的过程。我们想要说明的是，若一条路径 \(x\leadsto y\) 在过程中被选择了，那一定存在一个转折点满足路径的前半部分都有 \(p_i=x\)，后半部分都有 \(p_i=y\)。利用最短路的性质，路径上的 \(p\) 不可能出现形如 \(xyxy\) 的子序列，因此我们只需要说明第一个非 \(x\) 的是 \(y\)，最后一个非 \(y\) 的是 \(x\)。由对称性，证明一个就足够了，下面以前者为例。

考虑路径上的第一个 \(p_i\neq x\) 的点 \(i\)，设 \(p_i=z\neq y\)，分类讨论：（注意我们需要在所有路径之间合理地确定一个严格的偏序，比如权值和相同时按照起点、终点的编号二元组排序）

• 若此时 \(z\) 与 \(y\) 不在同一集合内，则一定有 \(z\leadsto y\) 比 \(x\leadsto y\) 更优；

• 否则一定有 \(x\leadsto z\) 比 \(x\leadsto y\) 更优。

因此无论如何 \(x\leadsto y\) 也不是最优的，矛盾。