9.2

求 \([x^n]\dfrac{P(x)}{Q(x)}\)，\(n\) 很大。

给分子分母同时乘上 \(Q(-x)\)，得到 \([x^n]\dfrac{P(x)Q(-x)}{Q(x)Q(-x)}\)。发现关键性质：\(Q(x)Q(-x)\) 只有偶数次项，因而可以表示成 \(G(x^2)\) 的形式。对于分子，我们分离奇偶次项，即令 \(P(x)Q(-x)=xF_{1}(x^2)+F_{0}(x^2)\)，因为只提取一项系数，所以只需要保留分子中 \(F_{n\bmod 2}(x)\) 的那一项，最终转化为 \([x^n]\dfrac{x^{n\bmod 2}F_{n\bmod 2}(x^2)}{G(x^2)}=[x^{n/2}]\dfrac{F_{n\bmod 2}(x)}{G(x)}\)。

递归求解即可，最高次数在递归过程中不会增大，因此复杂度为 \(O(k\log k\log n)\)，其中 \(k\) 是 \(P(x),Q(x)\) 的最高次数。