拉格朗日插值

给定 \(n\) 个点 \((x_i,y_i)\)，存在一个 \(n-1\) 次多项式 \(f(x)\) 满足对于任意 \(1\le i\le n\) 都有 \(f(x_i)=y_i\)。

考虑构造 \(n\) 个多项式，如果能构造出 \(f_i(x)\) 满足 \(f(x_i)=1,f(x_j)=0(j\neq i)\)，那么 \(f(x)\) 就是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i f_i(x)\)。

\(f_i(x)\) 可以构造成 \(\displaystyle \prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)。显然有 \(x=x_j\) 时第 \(j\) 项会取到 \(0\)，\(x=x_i\) 时每一项都是 \(1\)，满足条件。