生成函数小学习(一)

普通生成函数(OGF)

\(F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} {a_i x^i}=a_0+a_1x^1+a_2x^2+...a_nx^n\)

例子:

\(a={1,2,3}\),其生成函数是 \(F(x)=1+2x+3x^2\)
\(a={1,2,3...}\)的生成函数是 \(F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} (i+1)x^i\)

闭式:

对于一个普通生成函数通常存在闭式,
如 \(F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} {x^i}=1+x^1+x^2+...x^n\)

常见生成函数的闭式如下:
1.常数序列：\(a_i=K\)
闭式：\(F(x)=\dfrac{K}{1-x}(K \in \mathbb{Z})\)
推导：
\( F(x) =xF(x)+K \\ F(x)(1-x) =K \\ F(x) =\dfrac{K}{1-x} \)

2.等比序列：\(a_i=r^ix^i\)

闭式：\(F(x)=\dfrac{1}{1-rx}\)

推导：
\( F(x)=\sum _{i=0}^{\infty} r^ix^i = 1 +rx+r^2x^2...+r^nx^n\\ F(x)=rxF(x)+1 \\ F(x)=\dfrac{1}{1-rx} \)

3.等差序列：\(a_i=Ai+B (A,B \in \mathbb{Z})\)

闭式:\(F(x)=A·\dfrac{x}{(1-x)^2}+B·\dfrac{1}{1-x}\)

推导：
定义常数生成函数
\( F(x)_{0}=Ax+Ax^2+...Ax^n \)
对其求导后乘x
\( F'(x)_{0}x=Ax+2Ax^2+...nAx^{n}=F(x) _1=A·\dfrac{x}{(1-x)^2} \)
发现与等差序列生成函数前项相同
然后对后项使用常数生成函数合式
\( F(x)_{2}=B·\dfrac{1}{1-x} \\ F(x)=F(x)_{1}+F(x)_{2}=A·\dfrac{x}{(1-x)^2}+B·\dfrac{1}{1-x} \)

4.平方序列：$a_i=i^2 $

闭式:\(F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} i^2x^i=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}\)

推导：
\( 利用n^2=n(n-1)+n,拆分生成函数： \\ \sum {i^2 x^i}=\sum {i(i-1)x^i}+\sum {ix^i} =x^2·\dfrac{d^2}{dx^2}(\dfrac{1}{1-x})+\dfrac{x}{(1-x)^2} =\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}\\ \)

5.二项式序列：\(a_i=\binom{n}{i}x^i (i \leq k)\)
闭式:\(F(x)=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^i =(1+x)^n\)

推导:\(F(x)=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}x^i=(1+x)^n\)(基于二项式定理)

扩展:无穷项二项式系数(k为任意实数):\(\sum _{i=0}^{\infty} \binom{n}{i}x^i=(1+x)^n\)(广义二项式定理)

例:n=-1时,\(\sum_{i=0}^{\infty} \binom{-1}{i} x^i=(1+x)^{-1}=\dfrac{1}{1+x}\)

6.斐波那契数列:

\[\left\{ \begin{aligned} a_1 &= 1 \\ a_2 &= 2 \\ a_i &= a_{i-1} + a_{i-2} \end{aligned} \right. \]

闭式:\(F(x)=\sum a_ix^i=\frac{x}{1-x-x^2}\)

推导：
\( \sum_{i=2}^{\infty} a_ix^i=\sum_{i=2}^{\infty}a_{i-1}x^i+\sum_{i=2}^{\infty}a_{i-2}x^i \\ F(x)-x-1=(F(x)x-1)+F(x)x^2 \\ F(x)=F(x)x+F(x)x^2+x \\ F(x)=\frac{x}{1-x-x^2} \)

7.卡特兰数数列：\(a_0=1,a_i=\sum_{j=0}^{i-1} a_j·a_{i-1-j}\)
闭式：
$F(x)=\sum_{i=0}^{∞} a_ix^i=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} $

推导：$F(x)={F(x)}^2x+1 $
函数卷积是其生成函数的平方形式,且卡特兰首项为1,然后使用求根公式得出闭式解集，舍去负根即可

8.多重集组合数：\(a_i= \binom{i+k-1}{k-1}=\binom{i+k-1}{i}\)
闭式：\(F(x)=\sum _{i=0}^\infty\binom{i+k-1}{k-1}x^n=\frac{1}{(1-x)^k}\)
推导:基于广义二项式定理
\( F(x)=\frac{1}{(1-x)^k}=\sum _{i=0}^\infty \binom{-k}{i}x^i=\sum _{i=0}^\infty \binom{i+k-1}{k-1}x^i \)

应用:

1.数列通项递推,求和等操作
通项递推：斐波那契数列
已知其闭式:\(F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\)

设\(F(x)=\frac{A}{1-\alpha x}+\frac{B}{1-\beta x}\)
\(x=A(1- \beta x)+B(1-\alpha x)\)
得到

\[\left\{ \begin{aligned} A+B &= 0 \\ A \beta+B \alpha&=-1 \end{aligned} \right. \]

解得\(A=\frac{1}{\sqrt5},B=-\frac{1}{\sqrt5}\)
\(F(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\alpha x}-\frac{1}{1-\beta x})\)
然后利用几何级数将其展开成幂级数形式:
\(F(x)=\frac{1}{\sqrt 5}\sum_{n=0}^\infty(\alpha^n-\beta^n)x^n\)
故\(a_n=\frac{1}{\sqrt 5}((\frac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n)\).
前n项和：
平方序列求和
1.构造其前n项和的生成函数：
\(S(x)=\sum_{n=0}^x s_nx^n=\frac{F(x)}{1-x}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^4}\)
2.把S(x)展开成形式幂级数：
由广义二项式定理得：

\( \binom{-k}{i}= \binom{i+k-1}{k-1}\\ S(x)=\sum _{n=0}^\infty(x+x^2) \binom{n+3}{3}x^n\\ 令t=n+2 ,t=n+1,得\\ 则S(x)=\sum_{t=2}^\infty \binom{t+1}{3}x^t+\sum_{t=1}^\infty \binom{t+2}{3}x^{t} \)

前n项和即为第n项的系数：
也就是
\(s_n=\binom{n+1}{3}+\binom{n+2}{3} =\frac{(2n+1)(n+1)(n)}{6}\)